估計——2D射影變換

2020-12-24 圖像那些式兒

#視覺slam與三維重建#

本章將討論估計問題，本書中，估計的含義是指在某些本質測量的基礎上計算某個變換或其他數學量，在多視圖幾何中，估計的領域主要有以下幾個方面。

（1）2D單應 給定IP中的點集xi和同在IP2中的對應點集x'i，計算其對應的射影變換，實際情形中，點集對應圖像上的點。

（2）3D到2D的攝像機投影給定3D空間中的點集Xi以及一幅圖像上對應的點集xi,求把3D點集映射到2D點集的射影映射，將在第5章介紹。

（3）基本矩陣的計算給定一幅圖像上的點集xi和另一幅圖像上對應的點集x'i，計算與這些對應一致的基本矩陣F,基本矩陣將在第8章介紹，它是一個對所有對應點使x'iTFxi=0都成立的3x3奇異矩陣。

（4）三焦點張量計算給定跨三幅圖像的點對應xi<->x'i<->x"i的集合，計算三焦點張量。

本章研究內容：給定兩幅圖像之間點對應的集合xi<->x'i,如何計算出對所有i都滿足Hxi=x'i的一個3x3矩陣H.

圖1，給定4組點對應求解H矩陣

測量數 矩陣H有9個元素，減去一個無關緊要的全局尺度，還剩8個個自由度，每組對應點提供2個約束，故而最少需要四組點對應

近似解 如果只給4組點對應，則解唯一且稱為最小配置解，點對應多於4組且存在測量誤差，則計算近似解(實際情況就是這種情形)

黃金標準算法通常存在一種最優代價函數，當它取最小值時求得的H是變換的最好估計。

3.1 直接線性變換(DLT)算法

根據本章研究內容：給定兩幅圖像之間點對應的集合xi<->x'i，求滿足Hxi = x'i的矩陣H，因為計算採用的是齊次坐標，因此Hxi和x'i相差了一個尺度，但是它們的方向是相同的，因此有x'i x Hxi = 0

將矩陣H的第j行記為hjT,則

記x'i = (x'i,y'i,w'i)T，則叉積可以顯示地寫成

因為對 j=1,2,3,hjTxi = xiThj皆成立，方程可以改寫為關於H的方程

這些方程都有Aih=0的形式，其中Ai是3x9矩陣，h是由矩陣H的元素組成的9維矢量

其中hi是h的第i個元素，下面給出關於這些方程的三個注釋

（1）Aih = 0 是未知矢量h的線性方程，矩陣Ai的元素是已知點的坐標的二次多項式

（2）4.1方程中第三行可以由前兩行經過線性變換得到，實際求解只保留前兩行，得

（3）該方程組對x'i的任何齊次坐標(x'i,y'i,w'i)T都成立，取w'i=1時，(x'i,y'i)T是圖像實際測量中的坐標。

直接線性變換法的求解見下一小結

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