星座，由星辰與想像力構築的圖案，它們曾指點水手穿越無垠的海洋，也是佔星師捕捉命運的靈感源泉。人類第一張精確的星圖，由古希臘伊巴谷觀測並繪製，他在計算每顆恆星的經緯度時，使用到了非常複雜的坐標轉換運算，需要解三角比率，從現代數學來看，就是要解三角函數。銳角三角函數是初中數學的重要內容。在學習的時候要理解銳角三角函數的意義， 熟記特殊角的三角函數值，會利用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題。 本文以中考試題為例，盤點有關銳角三角函數的考點。
類型1 銳角三角函數
給定直角三角形，求一個角的正弦、餘弦、正切的值，或者通過構造直角三角形求已知角的三角函數值，或者通過求相等角的三角函數值來解.
例1．（2018貴陽）如圖，A、B、C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為（ ）
【分析】連接BC，由網格求出AB，BC，AC的長，利用勾股定理的逆定理得到△ABC為等腰直角三角形，即可求出所求．
【解答】連接BC，由網格可得AB=BC=√5，AC=√10，
即AB^2+BC^2=AC^2，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，則tan∠BAC=1，故選：B．
溫馨提示：銳角三角函數的概念是在直角三角形中給出的，有關銳角三角函數的問題，一般都跟直角三角形有關，若題目中沒有直角三角形，則須先添加輔助線構造直角三角形，才能應用銳角三角函數的有關知識來解決問題
變式．（2018眉山）如圖，在邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交於點O，則tan∠AOD=______．
【解答】如圖，連接BE，
∵四邊形BCEK是正方形，
∴KF=CF=1/2CK，BF=1/2BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，根據題意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=1/2CF=1/2BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF=BF/OF=2，
∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．
故答案為：2
變式練習1.（2008濱州）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=1/2，sinB=_____．
類型2 特殊角的三角函數
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°﹣30°﹣60°=90°．
故答案為：90°．
溫馨提示：本題考查了非負數的性質、特殊角的三角函數值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數值．
對於特殊角的三角函數值，要掌握兩個方面:
(1) 已知一個特殊角，要知道這個特殊角的三角函數值；
(2) 已知一個特殊角的三角函數值，則要知道這個特殊角的度數。
變式練習2. 若規定：sin（α+β）=sinαsinβ+cosαsinβ，試確定sin75°+sin90°的值．
類型3 解直角三角形
解直角三角形時，必須已知兩個元素，且至少有一條邊。解題過程中，要注意直角三角形的邊、角和銳角三角函數之間的相互轉化．
例3.（2018濟南二模）如圖，在Rt△BAD中，延長斜邊BD到點C，使DC=1/2BD，連結AC，若tanB=5/3，求tan∠CAD的值．
【分析】過點C作CE⊥AD，垂足為E，根據tanB=5/3,
設AD=5x，AB=3x，證△CDE∽△BDA，得出比例式，求出CE=1.5x，
DE=2.5x，求出AE=7.5x，解直角三角形得出即可．
【解答】如圖，作CE⊥AD，
∴∠CED=90°
又∵∠BAD=90°，∠ADB=∠CDE
∴△CDE∽△BDA，
∵DC=1/2BD
∴CE/AB=DE/AD=CD/BD=1/2，
∵tan B=5/3，
∴設AD=5x，則AB=3x，
∴CE=1.5x，DE=2.5x，
∴tan∠CAD=EC/AE=1/5．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形的應用，能構造直角三角形是解此題的關鍵．
變式. （2018寧波模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinA=5/13，點D在AB邊上，且∠BDC=45°，BC=5．
（1）求AD長；
（2）求∠ACD的正弦值．
【解答】（1）∵∠B=90°，∠BDC=45°，
∴BC=BD=5，
∵sinA=5/13,
∴AB=12，
∴AD=AB﹣BD=12﹣5=7；
（2）過A作AE⊥CE交CD延長線於點E，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE=7√2/2
則sin∠ACD=7√2/26
變式練習3. （2018虹口區二模）如圖，在△ABC中，sinB=4/5，點F在BC上，AB=AF=5，過點F作EF⊥CB交AC於點E，且AE：EC=3：5，求BF的長與sinC的值．
類型4 解斜三角形
【分析】三式相等，理由為：過A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數定義表示出AD，在直角三角形ADC中，利用銳角三角函數定義表示出AD，兩者相等即可得證．
溫馨提示：解題的關鍵是應用轉化思想，通過添加輔助線把非直角三角形轉化為 直角三角形，再應用解直角三角形的知識來處理。
變式（2018上海）如圖，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=3/4
（1）求邊AC的長；
（2）設邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D，求AD/DB的值．
【分析】（1）過A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數定義求出AC的長即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的長，利用銳角三角函數定義求出DF的長，利用勾股定理求出BD的長，進而求出AD的長，即可求出所求．
【解答】（1）作A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=AE/BE=3/4，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在Rt△AEC中，根據勾股定理得：AC=√10；
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF=2.5，
∵tan∠DBF=DF/BF=3/4，
∴DF=15/8，
在Rt△BFD中，根據勾股定理得：BD=25/8，
∴AD=5﹣ 25/8=15/8，
則AD/BD=3/5.
變式練習4.（2018自貢）如圖，在△ABC中，BC=12，tanA=3/4，∠B=30°；求AC和AB的長．
類型5 解直角三角形及其應用
解題時根據實際情況建立數學模型，將實際問題抽象為解直角三角形的數學問題，正確畫出圖形，找準三角形，弄清已知條件中各量之間的關係。若三角形是直角三角形，根據邊角關係進行計算；若三角形不是直角三角形，可通過添加輔助線構造出直角三角形來解決。
例5-1．（2018昆明）小婷在放學路上，看到隧道上方有一塊宣傳「中國﹣南亞博覽會」的豎直標語牌CD．她在A點測得標語牌頂端D處的仰角為42°，測得隧道底端B處的俯角為30°（B，C，D在同一條直線上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求標語牌CD的長（結果保留小數點後一位）．（參考數據：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，√3≈1.73）
【分析】如圖作AE⊥BD於E．分別求出BE、DE，可得BD的長，再根據CD=BD﹣BC計算即可；
【解答】如圖作AE⊥BD於E．
在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，
∴BE=1/2AB=5（m），AE=5√3（m），
在Rt△ADE中，DE=AEtan42°=7.79（m），
∴BD=DE+BE=12.79（m），
∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3（m），
答：標語牌CD的長為6.3m．
【方法歸納】一般來說，解雙直角三角形問題，可把兩個直角三角形的相關條件聯繫在一起構建方程求解．解決該類問題時注意尋找兩直角三角形的公共邊角或相等的邊角，它們往往是溝通解證思路的「橋梁」．解雙直角三角形基本模型如下：
例5-2．（2018眉山）知識改變世界，科技改變生活．導航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行．如圖，某校組織學生乘車到黑龍灘（用C表示）開展社會實踐活動，車到達A地後，發現C地恰好在A地的正北方向，且距離A地13千米，導航顯示車輛應沿北偏東60°方向行駛至B地，再沿北偏西37°方向行駛一段距離才能到達C地，求B、C兩地的距離．（參考數據：sin53°≈4/5,cos53°≈3/5，tan53°≈4/3）
【方法歸納】解決直角三角形有關的應用題最常用的方法是作垂線，構造直角三角形，根據所給數據，理清題中的線段之間的關係，選用恰當的三角函數求出有關的量或用含有未知數的式子表示有關的量進行求解．注意點：（1）注意方程思想的運用；（2）注意結果必須根據題意要求進行保留．
例5-3．（2018連雲港）如圖1，水壩的橫截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，壩頂DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）為1：0.5，壩底AB=14m．
（1）求壩高；
（2）如圖2，為了提高堤壩的防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡將壩頂和壩底同時拓寬加固，使得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的長．（參考數據：sin37°≈3/5，cos37°≈4/5，tan37°≈3/4）
【方法歸納】利用解直角三角形解決實際問題的步驟是：（1）審題，弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念，將實際問題抽象為數學問題．（2）認真分析題意，畫出平面圖形，轉化為解直角三角形問題，對於非基本的題型可通過解方程（組）來轉化為基本類型，對於較複雜的問題，往往要通過作輔助線構造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形．（3）根據條件，結合圖形，選用適當的銳角三角函數解直角三角形．（4）按照題目中已知數的精確度進行近似計算，檢驗得到符合實際要求的解，並按題目要求的精確度確定答案，並標註單位．對非直角三角形的求解，可以通過作輔助線的方法轉化成直角三角形解決，這種方法叫「化斜為直」法．通常以特殊角為一銳角，構造直角三角形．若條件中含有線段的比或銳角三角函數值，也可以設未知數，列方程求解．
變式練習5．（2018梧州）隨著人們生活水平的不斷提高，旅遊已成為人們的一種生活時尚．為開發新的旅遊項目，我市對某山區進行調查，發現一瀑布．為測量它的高度，測量人員在瀑布的對面山上D點處測得瀑布頂端A點的仰角是30°，測得瀑布底端B點的俯角是10°，AB與水平面垂直．又在瀑布下的水平面測得CG=27m，GF=17.6m（註：C、G、F三點在同一直線上，CF⊥AB於點F）．斜坡CD=20m，坡角∠ECD=40°．求瀑布AB的高度．（參考數據：√3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
變式練習6.（2018宿遷）如圖，為了測量山坡上一棵樹PQ的高度，小明在點A處利用測角儀測得樹頂P的仰角為45°，然後他沿著正對樹PQ的方向前進10m到達點B處，此時測得樹頂P和樹底Q的仰角分別是60°和30°，設PQ垂直於AB，且垂足為C．
（1）求∠BPQ的度數；
（2）求樹PQ的高度（結果精確到0.1m，√3≈1.73）．
3. BF=6，sinC=√5 / 5
4. AC=10，AB =8+6√3．
5.瀑布AB的高度約為45.4米．
6.∠BPQ=30°．樹PQ的高度約為15.8米．
初中三角函數學得好壞，直接影響高中三角函數的學習，這裡多說幾句，學好數學要抓住三個「基本」：基本的概念要清楚，基本的規律要熟悉，基本的方法要熟練。做完題目後一定要認真總結，做到舉一反三，這樣，以後遇到同一類的問題是就不會花費太多的時間和精力了。一定要全面了解數學概念，不能以偏概全。
學習概念的最終目的是能運用概念來解決具體問題，因此，要主動運用所學的數學概念來分析，解決有關的數學問題。要掌握各種題型的解題方法，在練習中有意識的地去總結，慢慢地培養適合自己的分析習慣。要主動提高綜合分析問題的能力，藉助文字閱讀去分析理解。在學習中，要有意識地注意知識的遷移，培養解決問題的能力。要將所學知識貫穿在一起形成系統，我們可以運用類比聯繫法將各章節中的內容互相聯繫，不同章節之間互相類比，真正將前後知識融會貫通，連為一體，這樣能幫助我們系統深刻地理解知識體系和內容。注意了這些我們離學霸為時不遠了，加油吧，我們共同努力。