1.3 帶電粒子在勻強磁場中的運動
【學習目標】
1．掌握帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的特點和解決此類運動的方法
2．理解質譜儀和回旋加速器的工作原理和作用
【要點梳理】
要點一：帶電粒子在勻強磁場中的運動
要點詮釋：
1．運動軌跡
帶電粒子（不計重力）以一定的速度v進入磁感應強度為B的勻強磁場中：
（1）當v∥B時，帶電粒子將做勻速直線運動；
（2）當v⊥B時，帶電粒子將做勻速圓周運動；
（3）當v與B的夾角為（≠0°，90°，180°）時，帶電粒子將做等螺距的螺旋線運動．
說明：
電場和磁場都能對帶電粒子施加影響，帶電粒子在勻強電場中只在電場力作用下，可能做勻變速直線運動，也可能做勻變速曲線運動，但不可能做勻速直線運動；在勻強磁場中，只在磁場力作用下可以做曲線運動．但不可能做變速直線運動．
2．帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動
如圖所示，帶電粒子以速度v垂直磁場方向入射，在磁場中做勻速圓周運動，設帶電粒子的質量為m，所帶的電荷量為q．
（1）軌道半徑：由於洛倫茲力提供向心力，則有
，得到軌道半徑
（2）周期：由軌道半徑與周期之間的關係
可得周期
說明：
（1）由公式知，在勻強磁場中，做勻速圓周運動的帶電粒子，其軌道半徑跟運動速率成正比．
（2）由公式知，在勻強磁場中，做勻速圓周運動的帶電粒子，周期跟軌道半徑和運動速率均無關，而與比荷成反比．
注意：與是兩個重要的表達式，每年的高考都會考查．但應用時應注意在計算說明題中，兩公式不能直接當原理式使用．
要點二：帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動的問題分析
要點詮釋：
1．分析方法
研究帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動的問題，應遵循「一找圓心，二找半徑R=mv／qB，三找周期T=2πm／Bq或時間」的基本方法和規律，具體分析為：
（1）圓心的確定
帶電粒子進入一個有界磁場後的軌道是一段圓弧，如何確定圓心是解決問題的前提，也是解題的關鍵．首先，應有一個最基本的思路：即圓心一定在與速度方向垂直的直線上．通常有兩種確定方法：
①已知入射方向和出射方向時，可以通過入射點和出射點作垂直於入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心（如圖甲所示，圖中P為入射點，M為出射點，O為軌道圓心）．
②已知入射方向和出射點的位置時，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心（如圖乙所示，P為入射點，M為出射點，O為軌道圓心）．
（2）運動半徑的確定：
聯立求解．作入射點、出射點對應的半徑，並作出相應的輔助三角形，利用三角形的解析方法或其他幾何方法，求解出半徑的大小，並與半徑公式
（3）運動時間的確定
粒子在磁場中運動一周的時間為T，當粒子運動的圓弧所對應的圓心角為時，其運動時間可由下式表示（或）．可見粒子轉過的圓心角越大，所用時間越長．
2．有界磁場
（1）磁場邊界的類型如圖所示
（2）與磁場邊界的關係
①剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切．
②當速度v一定時，弧長（或弦長）越長，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長．
③當速率v變化時，圓周角越大的，運動的時間越長．
（3）有界磁場中運動的對稱性
①從某一直線邊界射入的粒子，從同一邊界射出時，速度與邊界的夾角相等；
②在圓形磁場區域內，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出．
3．解題步驟
帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的解題方法——三步法：
（1）畫軌跡：即確定圓心，幾何方法求半徑並畫出軌跡．
（2）找聯繫：軌道半徑與磁感應強度、運動速度相聯繫，偏轉角度與圓心角運動時間相聯繫，在磁場中運動的時間與周期相聯繫．
（3）用規律：即牛頓第二定律和圓周運動的規律，特別是周期公式、半徑公式．
注意：
（1）帶電粒子射出磁場的速度方向與射入磁場的速度方向之間的夾角叫做偏向角，偏向角等於圓弧軌道對應的圓心角，即，如圖所示．
（2）圓弧軌道所對圓心角等於PM弦與切線的夾角（弦切角）的2倍，即，如圖所示．
要點三：質譜儀
要點詮釋：
（1）構造
質譜儀由粒子注入器、加速電場、速度選擇器、偏轉電場和照相底片組成，如圖所示．
（2）工作原理
①加速：，
②偏轉：，
由以上兩式得：粒子在磁場中作勻速圓周運動的半徑。
可見從粒子打在底片上的位置可以測出圓周半徑r，進而可以算出粒子的比荷
或算出它的質量
．
（3）應用：測定帶電粒子的質量和分析同位素
要點四：回旋加速器
要點詮釋：
（1）構造：回旋加速器是用磁場控制較適用電場進行加速的儀器．它由兩個中空的半圓金屬盒構成，兩盒間留有縫隙置於真空中，如圖所示．
（2）工作原理
回旋加速器的工作原理如圖所示．放在A0處的粒子源發出一個帶正電的粒子，它以某一速率v0垂直進入勻強磁場中，在磁場中做勻速圓周運動．經過半個周期，當它沿著半圓A0A1時，我們在A1A1＇處設置一個向上的電場，使這個帶電粒子在A1A1＇處受到一次電場的加速，速率由v0增加到v1，然後粒子以速率v1在磁場中做勻速圓周運動．我們知道，粒子的軌道半徑跟它的速率成正比，因而粒子將沿著增大了的圓周運動．又經過半個周期，當它沿著半圓弧A1＇A2＇到達A2＇時，我們在A2＇A2處設置一個向下的電場，使粒子又一次受到電場的加速，速率增加到v2．如此繼續下去，每當粒子運動到A1A1＇、A3A3＇等處時都使它受到一個向上電場的加速，每當粒子運動到A2＇A2、A4＇A4等處時都使它受到一個向下電場的加速，那麼，粒子將沿著圖示的螺旋線迴旋下去，速率將一步一步地增大．
（3）回旋加速器的旋轉周期
在A、A＇間處加一個交變電場，使它的變化周期等於帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的周期，就可以保證粒子每經過A、A＇時都正好趕上適合的電場方向而被加速．
（4）帶電粒子的最終能量
當帶電粒子的速度最大時，其運動半徑也最大，由牛頓第二定律
，得
，若D形盒的半徑為R，則r=R，帶電粒子的最終動能
．
說明：
（1）使帶電粒子在回旋加速器的金屬盒中運動，是利用了金屬盒的靜電屏蔽作用，不受外界電場幹擾，帶電粒子在金屬盒內只受洛倫茲力作用而做勻速圓周運動．
（2）回旋加速器中所加交變電壓的頻率為f，與帶電粒子做勻速圓周運動的頻率相等：
（3）要使粒子射出的動能
增大，就要使磁場的磁感應強度B以及D形盒的半徑R增大，而與加速電壓U的大小無關（U≠0）．加速電壓的高低只會影響帶電粒子加速的總次數，並不影響回旋加速後的最大動能．
（4）帶電粒子在回旋加速器中的運行時間t等於帶電粒子在磁場中的迴旋時間t磁與在電場中的加速時間t電之和，即
（式中n為迴旋圈數，d為兩D形盒的縫隙，R為Q形盒的半徑），因為兩半圓形D型金屬盒之間的縫隙很小，故帶電粒子在電場中的加速時間可以忽略不計，故
．
（5）回旋加速器加速的帶電粒子，能量達到25 MeV～30 MeV後就很難再加速了．原因是按照狹義相對論，粒子的質量隨著速度的增大而增大．而質量的變化會導致其迴旋周期的變化，從而破壞了與電場變化周期的同步．
要點五：「電偏轉」與「磁偏磚」的區別
所謂「電偏轉」與「磁偏轉」是指分別利用電場和磁場對運動電荷施加作用，從而控制其運動方向，但電場和磁場對電荷的作用特點不同，因此這兩種偏轉有明顯的差別．
類型
比較
垂直電場線進入勻強電場
（不計重力）——電偏轉
垂直磁感線進入勻強磁場
（不計重力）——磁偏轉
受力情況
電場力F=Eq，大小、方向不變
洛倫茲力F=Bqv，大小不變，方向隨v而改變
運動類型
類似平拋運動
勻速圓周運動或其一部分
運動軌跡
拋物線
圓或圓的一部分
運動圖示
求解方法處理
橫向偏移y和偏轉角要通過類似平拋運動的規律求解
橫向偏移y和偏轉角要結合圓的幾何關係通過對圓周運動的討論求解
運動的變化
電場力與速度的夾角越來越小，動能不斷增大，並增大得越來越快
洛倫茲力不做功，所以動能保持不變
高考研究、
例1．（2020年全國統一高考物理試卷湖南）一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直於紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等於半圓的半徑。一束質量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子，在紙面內從c點垂直於ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為（ ）
解：粒子在磁場中運動的時間與速度大小無關，由粒子在磁場中運動軌跡對應圓心角決定，即
，設半圓的半徑為R，如圖所示：
例2．（2019年全國統一高考物理試卷湖南）如圖，在直角三角形OPN區域內存在勻強磁場，磁感應強度大小為B、方向垂直於紙面向外。一帶正電的粒子從靜止開始經電壓U加速後，沿平行於x軸的方向射入磁場；一段時間後，該粒子在OP邊上某點以垂直於x軸的方向射出。已知O點為坐標原點，N點在y軸上，OP與x軸的夾角為30°，粒子進入磁場的入射點與離開磁場的出射點之間的距離為d，不計重力。求
（1）帶電粒子的比荷；
（2）帶電粒子從射入磁場到運動至x軸的時間。