機器之心報導
參與：魔王、杜偉
困擾扭結理論領域數十年的「康威扭結是否為平滑 slice」的問題終於得到了解答！Lisa Piccirillo 在不到一周的時間裡解答了這個難題。
4 月 12 日，當代傳奇數學家、「生命遊戲」發明者約翰·何頓·康威（John Horton Conway）因新冠肺炎去世，享年 82 歲。這位享譽海外的數學家一生中在組合博弈論、數論、群論、扭結理論等領域都做出了重大貢獻，他在扭結理論領域提出了亞歷山大多項式的新變式，現在被稱為康威多項式。這個概念在 20 世紀 80 年代成為新式扭結多項式工作的核心。
亞歷山大–康威多項式。
與此同時，康威多項式始終伴隨著一個疑問，即康威扭結是否屬於更高維扭結（higher-dimensional）的平滑 slice。「Sliceness」是扭結理論家針對更高維空間中扭結提出的一個自然問題，數學家已經能夠回答具有 12 個或更少纏結（crossing）的數千個扭結的這一問題。但幾十年來，具有 11 個纏結的康威扭結問題卻一直未能得到解答。
2018 年夏天，博士就讀於德克薩斯大學奧斯汀分校數學系的 Lisa Piccirillo 聽說了這個數學問題，並表示她不認為這是個真正的數學問題。在不到一周的時間內，Piccirillo 便有了答案：康威扭結不是「平滑 slice」。
對此，德克薩斯大學奧斯汀分校數學系的一位教授 Cameron M Gordon 驚呼：Lisa Piccirillo 的這一證明是可以發表在《數學年刊》（Annals of Mathematics）上的重大研究了。
Lisa Piccirillo 於 2018 年 10 月在《數學年刊》提交了一篇「康威扭結非平滑 slice」的論文並被接收。這篇論文於 2020 年 2 月正式發表。
論文連結：https://arxiv.org/pdf/1808.02923.pdf
對康威扭結問題的解答為 Lisa Piccirillo 贏得了麻省理工學院（MIT）的 Tenure-track 職位，為今後的教職生涯鋪平了道路。
康威扭結是否平滑 slice 為何如此重要？
康威扭結是否平滑 slice 的問題之所以如此聞名且重要，並不僅僅是因為它長時間內未得到解答。
平滑 slice 扭結為數學家提供了一條探索四維空間奇特屬性的途徑，二維球面在四維空間中可以扭結，有時會被壓皺而無法變得平滑。印第安納大學（Indiana University）的一位名譽教授表示：「Sliceness 與四維拓撲結構的一些最深層問題息息相關。」
此外，曾指導過 Lisa Piccirillo 本科畢業論文的波士頓學院數學系教授 Joshua Greene 也表示：「康威扭結是否為平滑 slice 的問題已經成為扭結理論領域大量進展的檢驗標準。」
扭結問題
首先我們來看什麼是扭結理論。
扭結理論 (Knot theory) 是拓撲學的一個分支，研究扭結的拓撲學特性。
在普通人看來，扭結只是帶有兩個末端的繩子，而在數學家眼中，這兩個末端是連在一起的，使得扭結無法被解開。在過去的一個世紀中，扭結啟發了從量子物理到 DNA 結構，以及三維空間拓撲中的諸多課題。
1990 年，康威在課堂上解釋為什麼兩個扭結無法相互抵消。
但是，如果把時間算作一個維度的話，世界就是四維的，那麼我們就要問是否存在 4D 空間中的扭結理論。而這並不是簡單地把 3D 空間中的扭結放到 4D 空間中：進入四維空間後，如果繩結在第四個維度中重合，扭結就會被解開。
要想在四維空間中製造扭結，你需要一個二維球面，而不是一維線圈。就像三維空間提供了構建扭結的足夠空間，但卻沒有提供解開扭結的足夠空間一樣，四維空間為扭結球面也提供了類似的環境。
我們很難對 4D 空間中的扭結球面進行可視化，但這有助於思考 3D 空間中的普通球面。從球面中穿過，你會看到不打結的繩圈。而如果在 4D 空間中穿過扭結球面，你就會看到打結的繩圈（根據穿過的位置，也有可能是不打結的繩圈或多個繩圈的連接）。通過穿過扭結球面得到的任何扭結都叫做「slice」。一些扭結並非 slice，例如三維扭結「三葉結」。
slice 扭結「為三維和四維扭結理論搭建了橋梁」。
但是在四維空間中存在一些新特點：4D 拓撲中存在兩個不同版本的 slice。1980 年代早期，數學家發現 4D 空間不僅包含我們直觀可見的平滑球面，還包含無法變得平滑的褶皺球面。哪些扭結是 slice 的問題取決於你是否選擇把這些褶皺球面囊括在內。
這些奇怪的球面並非四維拓撲的 bug，而是特點。屬於「拓撲 slice」但並非「平滑 slice」的扭結，意味著這些扭結是褶皺球面的 slice，而不是平滑球面的 slice，這使得數學家構建了普通四維空間的「奇特」版本。這些四維空間的存在將第四個維度與其他維度區分開來。
sliceness 的問題就是這些奇特四維空間的「最低維探索」。
扭結中的特例：康威扭結
在過去的幾十年中，數學家發現各種各樣屬於拓撲 slice 但非平滑 slice 的扭結。但是在具備 12 個或更少纏結的扭結中並未出現太多此類扭結，除了康威扭結。
數學家找出了具備 12 個或更少纏結的扭結的 slice 狀態，但康威扭結是個例外。
20 世紀 50 年代，少年康威對扭結產生了興趣，並以一種簡單的方式列出具備多達 11 個纏結的扭結（之前最多只有 10 個纏結）。
20 世紀 80 年代，數學家發現康威扭結是拓撲 slice，但他們無法確定它是否為平滑 slice。數學家認為康威扭結並非平滑 slice，因為看起來缺乏平滑 slice 通常具備的「ribbonness」特徵。但是又沒有一種方法能夠證明康威扭結不是平滑 slice。
也就是說，康威扭結有一系列變體。如果你在紙上畫康威扭結，然後剪去紙的某一個角並翻折，然後重新加入未紮緊的末端，就能得到 Kinoshita-Terasaka 扭結。
康威扭結、Kinoshita-Terasaka 扭結和 Piccirillo 扭結圖示。
問題在於新得到的 Kinoshita-Terasaka 扭結是平滑 slice，而康威扭結和它非常接近。於是數學家嘗試對其使用所有檢測非 slice 扭結的工具（扭結不變量）。
康威扭結的難點就在於，儘管每出現一個新的不變量，數學家就用它檢測康威扭結，但是仍然無法檢測出來康威扭結到底是不是 slice。
Piccirillo 認為康威扭結位於這些不同工具的盲區。
Lisa Piccirillo 的解決之道
Piccirillo 並不認為自己是扭結理論學家。「我喜歡三維和四維形狀，而與這些相關的研究都和扭結理論有較強關聯，因此我也做了一點扭結理論研究。」她在一封郵件中這樣寫道。
Piccirillo 遇到康威扭結問題時，正在思考除了突變以外兩個扭結產生關聯的方式。每一個扭結都有一個四維形狀，叫做跡（trace）。它是通過將扭結放置在 4D 球體的邊界，然後沿著扭結在球體上的形態來實現的。跡「用一種強大的方式編碼了扭結」，Gordon 表示。
不同的扭結可以具備相同的四維跡，數學家已經發現這些跡 sibling 通常具備相同的 slice 狀態，要麼都是 slice，要麼都不是。但是 Piccirillo 和萊斯大學博士後 Allison Miller 證明，對於研究 sliceness 所用的所有扭結不變量而言，這些跡並非完全相同。
這指引了 Piccirillo 提出一種策略，來證明康威扭結並非 slice：如果她能夠為康威扭結構建一個跡 sibling，則這個跡應該比康威扭結能夠更好地與 slice 不變量配合。
構建跡 sibling 是件挺麻煩的事，不過 Piccirillo 在這方面是專家。
通過結合聰明的旋轉（clever twist），Piccirillo 構建了一個複雜的扭結，它具備與康威扭結相同的跡。而 Rasmussen』s s-invariant 證明該新糾結並非平滑 slice，因此康威扭結也不是。
Gordon 認為「這是非常優美的證明」。沒人想到 Piccirillo 構建的扭結會屈服於 Rasmussen』s s-invariant，而這確實奏效了……太令人驚訝了。」
扭結跡是一種出現數十年的經典工具，而 Piccirillo 對此的理解比其他人都更加深刻。她的工作向拓撲學家證明了，扭結跡被嚴重低估了。「她撿起了本已蒙塵的工具，現在其他人也跟上來了。」
人物簡介
Lisa Piccirillo 本科畢業于波士頓學院，博士畢業於德克薩斯大學奧斯汀分校，現為布拉迪斯大學（Brandeis University）NSF 博士後研究員以及麻省理工學院數學系 CLE Moore 講師。她的主要研究方向為三維和四維流形以及扭結調諧（knot concordance）。
Lisa Piccirillo。
原文連結：https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-decades-old-conway-knot-problem-20200519/