在三維時空中定位一個物體，需要xyz三個坐標，對應現實世界中的經度、緯度、高度。理論上3顆衛星就能確定的坐標，實際上卻需要4顆衛星才能辦到，而關鍵之處，就在於第四維坐標——時間。
時間在導航定位中是一個非常重要的參數，以至於任何一微秒的偏差，都可能造成極大誤差。
因此，正如《奇蹟年，人類文明的兩次升級》一文中我們提到，根據狹義相對論和廣義相對論，GPS衛星每24小時內需要修正45-7=38微秒才能確保精確定位。
那麼，為什麼三點確定空間坐標，可為什麼GPS要4顆衛星才能精確定位？為什麼一定要校準時間？
今天我們就來聊聊這個話題。
01 GPS簡介
GPS是英文Global Positioning System的縮寫，即全球衛星定位系統，是現役世界四大衛星導航系統之一（另三大是中國的北鬥、俄羅斯的格洛納斯和歐洲的伽利略系統）。也是目前最完善、最可靠、應用最普及的導航系統。
GPS系統自20世紀70 年代開始研製，用於替代第一代衛星定位系統——子午儀衛星定位系統(Transit）。項目累計耗費200億美元，於1994 年全面建成，服役至今已為大地測量、地殼運動檢測、軍民用導航等作出了巨大貢獻。
該系統包括三大部分：空間部分為24顆在軌衛星（21顆實際工作，3顆備用），地面控制部分為地面監控系統，用戶設備部分為智慧型手機、導航儀等各類接收機。
其中24顆衛星分布在6個軌道面上，全球覆蓋率能達到98%。衛星上載有高精度時鐘，用於提高定位精度。
02 GPS定位原理
GPS定位的基本原理是：測定衛星與接收器之間的距離，以衛星為中心，以該距離為半徑畫球面，不同衛星確定的不同球面的交點，即為該接收器所在位置。
具體來說：GPS衛星每時每刻都在向全世界發射電磁信號，該信號中包含時刻T及該時刻下衛星的坐標XYZ（以地心為圓心建立空間坐標系）等信息。
當地面用戶的接收器在t時刻接到該信息後，t減去T可得時間差△t。由於電磁信號是以光速c（30萬公裡/秒）行進，由此可得衛星與接收器之間的距離L=c·△t，此為第一個關鍵數據。
舉例來說：用戶小章要使用開車導航，衛星a為他服務。8:00:00衛星a發出了一個信號（含衛星坐標Xa、Ya、Za和時刻Ta=8:00:00），並以光速c到達地球。
假設小章的接收器——手機（坐標xyz）接到該信號時的時刻ta是8:00:02，那麼△ta=8:00:02-8:00:00=2秒，兩者距離La=c·△ta=60萬公裡（假設）。
根據空間幾何，利用三角函數可得以下公式：
三顆衛星可聯立三個方程組：
三個方程解三個未知數，是可解的，由此我們可以得到小章的坐標xyz。
但是，這裡出現了一個致命問題：△t的確定，受到雙方時間精準性的影響。
衛星上的時鐘極其精準，Ta沒有問題，但小章的手機很弱，上面的時鐘精度很低，與標準時間有t0的誤差（受限於製造成本，該誤差難以消除，這是民用手機的通病）。導致我們以為小章的手機是8:00:02接到的信息，實際此時是8:00:01, △t應為1秒而不是2秒，再乘以光速c之後，誤差會極其大，失之毫釐，謬以千裡，定位會相差數公裡，失去意義。
如何消除誤差？這就需要引入第四顆衛星，來消除t0的影響。
具體來說，將真正的時差定義為（△t-t0），聯立四個方程組可得：
由此可解出精確的坐標xyz，並得知相應的手機時間誤差t0。
03 為什麼要校準時間？
第四顆衛星的使用，就是為了多列一組方程，多求得一個未知數t0（手機時間誤差），以此消除t0的影響，這即是校準時間。
t0對精確定位影響很大，但定位的精確度，與t0本身的大小無關，因為t0最終是一個確定值，無論非常大還是非常小，計算時只需減去t0值便可消除影響。
而衛星時間T的誤差大小，其影響則更加敏感。
我們默認衛星時間T非常精準，但由於受到狹義相對論和廣義相對論影響，一天之內誤差將累積到38微秒，如果不校準，再小的誤差乘以光速c，也將成為難以估量的偏差，因此必須校準。
事實上，衛星上的時鐘的精準程度，直接影響了定位精度，因此各個國家都是想盡一切辦法使用高精度時鐘，追求極致的精準，儘可能減小定位誤差。
比如GPS系統，從最開始使用石英振蕩器、定位誤差為14米，到後來使用銣原子鐘和銫原子鐘，誤差分別縮小到8米和2.9米，而現在使用的氫原子鐘，則使誤差降到僅為1米。
誤差可以完全消除嗎？理論上是不可能的，因為從公式中可知，影響精度的因素有很多，包括衛星時鐘的精準性、非真空環境對光速的影響、衛星自身坐標的偏差、時間校準的滯後性等等，都使定位不可能達到百分之百精準。
當然，民用與軍用不同，只要導航不將我們導到河裡，現有的誤差都是可以接受的。