「我和你蕩鞦韆
蕩到那天外天
看著那牛郎織女
相會在那銀河邊「
01 蕩鞦韆
說到蕩鞦韆，一定能勾起大家的兒時回憶，但這項看似再簡單不過的童年活動，其實是充滿了技術含量的！蕩鞦韆容易，但是怎樣才能像歌詞中唱的那樣「蕩到天外天」呢？
很多人第一反應可能是：找個人在後面推自己呀！正所謂芳園四壁花光聞，鞦韆動處朝霞飛。在春和景明，萬物復甦的時節，和自己的男/女朋友一起蕩鞦韆，想必是歡聲笑語，浪漫之至。而這正是物理學中共振的原理呀！在鞦韆的每一個擺動周期我們都施加一次外力驅動，因此外界的驅動頻率與系統本徵頻率接近，產生了愛的共振，所以我們才能將鞦韆越蕩越高。
這種方法雖然浪漫，但卻有著很大的限制，那就是：沒對象的話怎麼辦呢？
難道我們單身狗就不配蕩鞦韆了嗎（摔）
其實即使自己一個人，我們也是能把鞦韆蕩起來的，方法就是今天我們要介紹的「參變振蕩」。具體操作如下所示：
如左圖所示，當鞦韆到最高點時突然蹲下，然後到最低點時再突然站起來，那麼人體重心的變化就如右圖中A→B→C→D一樣。在最低點我們要克服重力做功，將人體內能轉化為機械能，由於B點與C點之間的高度差，所以D點高度是一定大於A點的。從D點開始再次迅速蹲下開始下一個「蹲→起→蹲」的周期，循環往復下去，我們單身狗就也能夠「蕩到那天外天」啦！
當然了，現實生活中很多鞦韆為了安全或舒適起見，設計為了只能坐著蕩，這個時候我們也是有辦法的，如下圖所示：
不好意思，放錯圖了，應該是下面這張↓↓↓
也就是說，我們需要將上面的「站起-蹲下」相應的替換為「屈腿-伸腿」，以此來實現重心的變化。
這樣的一種蕩鞦韆方式為什麼被稱為「參變共振」呢？是因為我們系統中並沒有外界驅動，我們只是通過周期性的改變重心，或者說是單擺的擺長，就實現了越蕩越高的效果，也就是說起振是通過擺長這個參數的變化來實現的。這裡我們需要注意一點，那就是不管是「蹲→起→蹲」，還是「屈→伸→屈」，在每一個鞦韆擺動的周期我們都需要進行兩次這樣的操作，也就是說我們重心變化的頻率是單擺自身頻率的兩倍，這樣才能實現參變振蕩。
以上僅是對單身狗蕩鞦韆法的定性分析，作為物理學從業者，我們能不能定量的分析一下這個過稱呢？朗道笑了笑表示那自然是沒問題的！
在朗道的理論物理教程第一卷《力學》卷中，有一節是關於參變振蕩的，讓我們一起來回憶一下：
對於一個一維的諧振子，其運動方程可一般性的表示為：
在這裡的頻率是含時的，不妨考慮其具有如下的形式：
其中：
也就是說該方程描述的系統的頻率是周期性變化的，且頻率平方的周期性變化速度大約是其自身的兩倍。
眾所周知，單擺在小角度振蕩時，其周期與擺長的平方根成正比：
也就是說，擺長與頻率的平方成反比。既然在我們的單身狗蕩鞦韆法裡，擺長的變化周期是系統本徵頻率的兩倍，那麼頻率的平方自然也要以本徵頻率的兩倍來變化啦。因此我們是可以用這個方程去描述單身狗蕩鞦韆法的。
回到我們的方程，可以假設解的形式為：
這種假設當然不是嚴格精確的，實際上x還會包含更高階的倍頻項，不過他們都是h的高階小量，所以我們可以暫時忽略。
這裡我們假設相對於sin以及cos項以外，a(t)與b(t)隨時間變化很慢：
將我們假設的解的形式代入到運動方程中，僅保留ε的一階項，同時通過展波近似忽略掉以3（ω+ε/2）變化的快變項，可以得到：
注意在推導過程中我們用到了如下面這樣的三角函數關係式：
上述等式若要時刻成立，sin項與cos項前面的係數必然為零，同時由於我們期望得到起振的解，因此可假設振幅是指數變化的：
最終可聯立方程組如下：
方程組有解的條件為其行列式等於零，因此：
若要起振，s需為實數，因此：
回顧一開始我們考慮頻率的變化為：
因此，只有當頻率平方的變化頻率大約是本徵頻率的兩倍時，才會發生參變振蕩，而這與我們之前對單身狗蕩鞦韆的定性分析不謀而合！
故事講到這裡，可能有不少小夥伴要問了，這和標題裡的量子計算有啥關係，難道我又被中二所騙了？(ˇˇ) 不不不，接下來才是重頭戲！
02 量子計算機
量子計算的概念近幾年非常火熱，想必大家都有聽說過。在某些特定問題的求解上，相比於經典計算機，量子計算機能夠實現指數加速。比如對於我們目前最常見的RSA加密算法來說，如果採用2048位的話，哪怕是超算也需要將近10億年的時間才能破解，但對於量子計算機來說或許只需要幾分鐘的時間。
那麼怎樣才能造出一臺算力如此強大的量子計算機呢？目前進展最快的超導量子計算背後的原理其實是「電路量子電動力學（Circuit-QED）」，與光與原子相互作用的「腔量子電動力學（Cavity-QED）」相似，這裡只是將真實的原子替換為了以約瑟夫森結電路為核心器件的「人造原子」，把光學諧振腔替換為了LC諧振電路。這樣的系統有很大的優勢，比如量子比特和測量系統的諧振腔更容易耦合，可以通過微加工的方式來實現比特的擴展等。
但是在超導量子計算的諧振腔裡存在的是微波光子，典型的頻率在10GHz量級。日常生活中最常見的可見光波長範圍在400到760納米之間，也就意味著其頻率範圍處於395~750THz的級別，從能量上來講差不多是微波光子的十萬倍。正在看文章的你，每秒要接受來自手機屏幕的百億億量級的可見光光子才能夠獲取信息。而一個典型的超導諧振腔內的微波光子數只在10這個量級。可想而知，在超導量子計算機中想要獲取量子比特的信息是多麼困難。
正因如此，為了測到量子比特的狀態，我們需要對極其微弱的信號進行放大，總的增益需要達到100dB（也就是100億倍！），單靠一個放大器是很難實現這一點的，往往需要級聯多級放大器。但這又涉及到噪聲的問題，每一級放大器引入的噪聲都會隨著信號被後面的放大器一起放大，如果不控制好放大器自身引入的噪聲，最終的信噪比將慘不忍睹，這就使得最前端的放大器尤其重要。講到這裡本文的c位終於可以出道了，那就是「約瑟夫森參量放大器」。
03 約瑟夫森參量放大器
在講約瑟夫森參量放大器之前，我們有必要先介紹一下約瑟夫森結，它的結構很簡單，就是兩個超導體中間以絕緣層隔開（如下圖所示），就像三明治一樣。
然而，如此簡單的結構卻蘊藏著極其豐富的物理現象與巨大的實用價值，它不僅給22歲的博士生布賴恩·約瑟夫森帶來了1973年的諾貝爾物理學獎（註：約瑟夫森於1962年提出約瑟夫森結的理論，11年後獲獎），還成為了現如今谷歌，IBM等公司正如火如荼研究的量子計算機的核心器件。那麼它是怎麼做到的呢？
大家知道超導體之所以能夠實現零電阻，是因為超導體中的電子可以兩兩抱團組成庫珀對兒，抱團後的電子就可以無視各種散射，一路暢通無阻了。但是一旦離開了超導體，遇到絕緣層的話該怎麼辦呢？在量子力學中，面對一堵牆（勢壘），無論它多麼高、多麼堅固，電子都有一定的機率可以穿牆而過。那麼面對絕緣層這堵牆，庫珀對當然也是有機率隧穿過去的。但是這堵牆畢竟號稱絕緣層，庫珀對武功再強，總是要給人家一些面子的對不對。於是兩相權衡下，庫珀對可以通過，但必須受到限制。這種限制的具體形式則可以說明約瑟夫森結具有非線性的特性。
而約瑟夫森結的神奇之處便在於非線性，利用它的非線性特性人們可以構造能級間距變化的非諧振電路，就像「人造原子」一樣，我們可以分辨出它的基態與激發態，因此它可以作為一個超導量子比特，佔到量子計算機裡的c位。也正是由於它的非線性特性，以約瑟夫森結為核心的微波電路的振蕩頻率可以周期性的變化。所以類似於蕩鞦韆時擺長的周期性變化能使我們越蕩越高一樣，頻率的周期性變化使得約瑟夫森結可以將電信號不斷放大，實現參量放大的效果。下面我們將定量地介紹一下約瑟夫森結的非線性特性以及怎樣通過這種非線性來實現參變振蕩。
前方高能預警：一大波公式即將來襲，非戰鬥人員請直接撤退至文末看重點！
約瑟夫森結的電流與電壓滿足下面兩個約瑟夫森方程：
其中δ是兩側超導體的相位差，Φ0是常數，I0是約瑟夫森結允許通過的最大電流，即臨界電流。結合上面兩個式子可以得到：
結合電感的定義我們可以得到約瑟夫森結的電感為：
隨著電流的變化，相位差δ會變化，因此約瑟夫森結的電感並不是定值，而是變化的，我們將其稱為非線性電感，這便是約瑟夫森結的非線性特性。
那麼怎樣利用非線性特性實現參變振蕩呢？且看下面的講解：
我們考慮一個傳輸線與約瑟夫森結連接的模型，如上圖所示。其中約瑟夫森結被等效成了右側一個非線性電感與電容的並聯，根據前面的約瑟夫森方程，它的電流大小分別為：
而在左側的傳輸線上，我們需要給一個泵浦信號以及一個要放大的小信號，根據電報方程得到的邊界條件，在z=0處的電流可以表示為：
在z=0的地方，兩側電流大小應相等，整理方程可得：
其中sin項已被泰勒展開至三階項，成為方程中的非線性部分。為了求解這個方程，我們可以先忽略右側的小輸入信號，只考慮泵浦信號的影響，則方程變為：
假定剩餘部分解的形式為：
這種假設顯然不是精確的，但我們可以將其作為0階近似，通過迭代的方式一步步趨近真實的解，思路類似於解非線性的Duffing方程。不過在這裡我們只想要說明參量放大的物理過程，因此先將就著用這個0階的解。
對於等式右邊需要放大的小信號，我們可以將它的影響當作一個小的微擾，即：
將它代入到等式中去，只保留δS的一階項，我們可以得到：
其中頻率的表達式如下：
對比前面蕩鞦韆那部分朗道書中的公式：
可以發現兩個方程形式上是一致的，頻率的平方都有著周期性的變化，因此我們的約瑟夫森結也能夠像蕩鞦韆一樣參變振蕩從而實現信號放大的效果。在描述約瑟夫森結的方程中多了一個微弱的輸入信號和對時間一階導的阻尼項，前者我們可以忽略不計，而後者也只會影響到約瑟夫森參量放大器的增益帶寬。參變振蕩的物理本質並不會有所改變。
在之前蕩鞦韆時我們曾講過參變振蕩的頻率平方的變化頻率需要是系統本徵頻率的二倍。在這種約瑟夫森參量放大器中，我們可以看到頻率平方的變化頻率為泵浦頻率的兩倍，也就是說若想實現參量放大，需要滿足泵浦信號與系統的本徵頻率接近，即：
04 劃重點
堅持看到這裡的同學真的很棒！
當我們孤身一人蕩鞦韆時，可以通過周期性地改變自身重心使得單擺擺長周期性振蕩，從而實現參變振蕩，越蕩越高。在量子計算機裡這個過程是類似的，只不過這裡我們是通過約瑟夫森結的非線性特性來讓頻率這個參量周期性變化，從而實現參變振蕩，放大我們需要的信號。而且兩者共通的一點是，參量的變化頻率需要在系統本徵頻率的兩倍附近才能夠實現起振的作用。
隨著科技的發展，人們研究的內容也越來越深入，在未來必然會出現更多類似於量子計算這樣需要對極微弱信號進行低噪聲放大的需求（目前做暗物質研究的科學家們已經開始關注約瑟夫森結參量放大器了）。不知看完這篇文章後，你是否已經有了對參量放大器的基本印象呢？
（篇幅所限，本文只是介紹了約瑟夫森參量放大器的冰山一角。關於參量放大器的參量過程，信號增益，帶寬，噪聲抑制，動態範圍以及現如今人們為了提高這些性能進行的諸多改進，歡迎大家閱讀下方的參考文獻進一步了解哦~）
參考文獻：
1． Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. Mechanics, chapter 5, 58–95. Butterworth Heinemann (2000).
2． 無邪. 放大，參量放大，約瑟夫森參量放大.
3． 無邪. 量子計算背後的硬核技術：約瑟夫森參量放大器.
4． Beltran M A C. Development of a Josephson parametric amplifier for the preparation and detection of nonclassical states of microwave fields[D]. University of Colorado at Boulder, 2010.
編輯：米老貓