●若兩個矢量互成直角，可用勾股定理求出它們的合矢量值R：
●餘弦定理和正弦定理可用來確定任意兩個矢量的合矢量的值:
●矢量的分量是矢量的投影：
●矢量的和可通過將各個矢量的x 分量和y 分量分別相加的辦法求得。●平衡力可通過如下方法求出：先求出作用在物體上的淨力，然後作出與淨力大小相等、但方向相反的力。●斜面上的物體的重力有一個平行於斜面方向的分力，該分力能使物體沿斜面向下做加速運動。
在上一章中我們知道，如果只是水平或豎直方向的力，只要選擇一個適當的坐標系，即可方便地進行分析。那麼，如果研究的不僅僅是水平方向或豎直方向的力，換句話說，當涉及的力不只是一維力的時候，我們又該如何建立坐標系、計算淨力呢?
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矢量
圖5-1 兩個40N的力之和可以用下方的合矢量表示。
再說矢量
現在再來考慮有多個矢量力的情況。在第4章中曾介紹過你和你的朋友一起推一張桌子的例子。假設你們每人各向右施加40N的力，受力分析圖如圖5-1所示，它們的合矢量，即桌子受到的淨力顯示在該圖的下方。正如你想像的，合矢量的值為80 N。不過，你知道這個合矢量是怎樣得到的嗎?
圖5-2 可通過以下方法實現矢量的相加：移動矢量，使它們首尾相接，然後從第一個矢量的尾端出發，畫出一條線指向最後一個矢量的頂端，得出合矢量。回憶一下以前學過的矢量加法。對於不在同一直線上的矢量，這個方法也是適用的。例如，對於一個二維力的問題，我們可以用圖象法來求解。求解的方法是:用量角器畫出這兩個力的角度和長度，再量出合矢量的方向和大小。你還可以用下面的辦法來求兩個矢量的和:如圖5-2所示，移動其中一個矢量，使兩個矢量的首尾相接，再連接第一個矢量的尾端與第二個矢量頂端，這樣就畫出了合矢量。圖5-2a表示的是所分析的兩個力。在圖5-2b中，已將其中的一個矢量進行了移動,並使它的尾端與另一個矢量的頂端連接了起來。請注意,在這個移動過程中，矢量的方向和長度都保持不變。由於長度和方向是決定矢量大小的兩個重要因素，因此，這樣的移動不會改變矢量的特徵。也就是說，在移動矢量時，只要保持它的長度和方向不變，該矢量就不變。如圖5-2c所示，從第一個矢量的尾端出發，畫出一條線指向最後一個矢量的頂端,得到的便是它們的合矢量。此時，你可方便地測出它的值,並用量角器測得其方向。有時候，你需要運用三角函數知識來確定合矢量的長度和方向。當要相加的兩個矢量的夾角是直角時，如矢量A指向正北，矢量B指向正東時，你就可以利用勾股定理求出合矢量的數值R。圖5-3 坐標系包含一個原點以及兩條相互垂直的坐標軸(a)。矢量A的方向是從x軸繞逆時針方向量度的(b)。在研究矢量的分量之前，先要介紹坐標系。一般的坐標系如圖5-3a所示。在建立坐標系時，先選擇好原點,然後從原點出發分別向上和向右畫一線段（兩線相互垂直),稱為坐標軸;在線段的端點處畫上表示方向的箭頭，再在兩軸上劃分刻度，這樣坐標系就建好了。還可從橫軸按刻度向上劃線，按同樣的方法從縱軸上向右劃線，這樣就劃成了一個個的方格，如圖5-3a所示。通常，我們將橫軸稱為x軸，縱軸稱為y軸，兩軸相交於原點。在實際運用時，x軸和y軸的方向是可以隨意選擇的，關鍵是看能否方便於問題的求解。例如，如果你要處理的運動局限於地面上，那麼，通常取x軸指向東，y軸指向北。如果研究的是物體在空間中的運動，一般選擇正x軸在水平方向，而正y軸在豎直(向上)方向。如果研究的是物體在山坡上的運動，則取運動方向為正x軸,y軸與x軸相垂直的坐標系較為方便。有了坐標系，你就能用一種新的方式描述矢量。如圖5-3b所示，矢量A可用正x軸上5個單位、正y軸上4個單位來表述，或用如圖所示的分別記為Ax和Ay的兩個矢量來表示這一信息。注意，Ax平行於x軸，Ay平行於y軸。進一步分析你還可以看到，將Ax和Ay相加，它們的合矢量就是原來的矢量A。通常，一個矢量可以分解為兩個分量(component)，最常用的分解法是一個平行於x軸，另一個平行於y軸。以後你將看到，這樣的分解法有很多好處。因此，請記住下面的矢量公式:A=Ax+Ay。這種將一個矢量分解成幾個分量的方法稱為矢量分解(vectorresolution)。請注意，原來的矢量是一個直角三角形的斜邊，這意味著原矢量的值總是大於各個分矢量的值。選擇坐標系的另一個理由是，任何矢量的方向都可以用與坐標系相關的量來表徵。如用x軸逆時針方向轉到該矢量的角度來確定矢量的方向。在圖5-3b中，角度θ 就表示了矢量A的方向。有了坐標系，矢量的長度就能方便地計算。例如可用圖象法測量分矢量的長度，或者利用三角函數來計算分量。利用三角函數計算分量可用如下公式,其中θ 是從正x軸逆時針方向量度的。圖5-4 分量的符號與該分量究竟處在四個象限中的哪一個象限有關。
如圖5-4所示，當矢量與x軸的夾角大於90°時，一個或多個分量的符號為負。
圖5-5 Rx是Ax、Bx和Cx的x分量之和。Ry是Ay、By和Cy的y分量之和。Rx和Ry的矢量和就是A、B和C的矢量和。
11.距離和位移 你行走的距離與位移的值相等嗎?給出一個例子支持你的結論。將你的手掌在桌面上輕輕滑過，感受一下阻礙運動的摩擦力。在桌面上推一本書，當你停止推它時，可以發現，書本還將繼續運動一會兒才慢慢停下。這是因為，在書本運動時，桌面對書本產生的摩擦力使後者有了一個與其運動方向相反的加速度。到目前為止，你在求解運動問題時都忽略了摩擦力的影響，但事實上摩擦力卻無處不在。例如自行車和汽車，無論要使它們運動還是停止，都需要摩擦力。如果你曾經在冰面上走過，你就會更加理解摩擦力的重要性了。
靜摩擦力和動摩擦力
摩擦力有兩種類型，它們都是和運動反向的。在桌面上推一本書，書本就會受到一種與其運動方向相反的摩擦力，這種力稱為動摩擦力(kinetic friction)。動摩擦力是在兩個表面相互接觸時發生相對運動，而產生的一個表面施加在另一個表面上的力。
為了理解另一種摩擦力，不妨想像一下你試圖推動一張放在地板上的長沙發的情形。你用力推，但長沙發卻紋絲不動。根據牛頓定律，要出現這種情況，必定存在第二個水平力作用在這隻長沙發上，這個力與你的推力方向相反、大小相等。這個力就稱為靜摩擦力(static friction)，它是當兩個表面不發生相對運動時，其中的一個表面施加在另一個表面上的力。如果你的推力越來越大，如圖5-8a和b所示，但這張長沙發仍然不動，那就說明靜摩擦力一定也越來越大。這是因為靜摩擦力總是隨試圖使物體運動的力的增大而增加的。如果你不斷增加推力，那麼到某一時候長沙發將開始移動，如圖5-8c所示。顯然，靜摩擦力不會無限增大，它是有最大值的。一旦你的推力大於這個最大的靜摩擦力，沙發便開始運動，此時動摩擦力就替代靜摩擦力對這張長沙發的運動起阻礙作用了。
圖5-8 與外力相對應的靜摩擦力的大小存在一個極限。
摩擦力的公式
最大靜摩擦力和正壓力之間的關係與動摩擦力的情況類似。你是否記得，靜摩擦力的作用是對試圖使物體從靜止開始運動的力作出的響應。如果沒有力作用在物體上，靜摩擦力便等於零。如果試圖使物體運動的力不斷增大,那麼靜摩擦力將會不斷增大，直至達到一個最大值。當這個最大力被克服時，物體便開始運動。
在最大靜摩擦力的公式中，µs是兩個物體接觸面之間的靜摩擦因數(coefficient of static friction)，而µsFN是物體能開始運動所必需克服的靜摩擦力。在圖5-8c中，靜摩擦力在長沙發開始運動的瞬間被抵消了。
注意，動摩擦力和最大靜摩擦力的公式中僅包含力的大小。力F f和FN本身互成直角。表5-1給出了不同表面之間的摩擦因數。雖然所列的因數都小於1.0，但這並不意味著所有摩擦因數都小於1.0。例如在拖曳比賽中，曾經有過5.0這樣大的摩擦因數。摩擦力產生的原因 所有表面，即使是看起來很光滑的表面，從微觀上看都是粗糙的。如果你通過掃描隧道顯微鏡看放大的石墨晶體照片,那麼在原子層次上晶體表面的不規則性就會暴露無遺。當兩個表面接觸時，每個表面上的突出點就會碰到並暫時粘合在一起。這就是靜摩擦力和動摩擦力的起因。這個過程的詳細情形目前還並不清楚,因而它仍然是物理學和工程學上的一個研究課題。在處理有摩擦力的情況時，要記住以下幾點：首先，摩擦力總是作用在與運動(或者在靜摩擦情況下的運動趨勢）相反的方向上；其次，摩擦力的大小取決於兩個摩擦面之間正壓力的大小，但並不一定取決於每個物體所受到的重力；最後，靜摩擦因數乘以正壓力的值便是最大靜摩擦力。你在複習這一節所學到的內容時，要記住這幾點。本節複習題
平衡力
在第4章中你已經知道，當沒有淨力作用在物體上時，這個物體便處於平衡狀態。按照牛頓定律的觀點，這是因為這個物體沒有加速度。處於平衡狀態的物體，或者靜止，或者以恆定的速度運動。需要提醒你的是，無論有多少個力作用在一個物體上，平衡都有可能發生。只要總的效果為零，即沒有淨力，這個物體便處於平衡狀態。
圖5-11a顯示了作用在一個物體上的三個力的情況。你能分析作用在這個物體上的淨力為多大嗎?請記住,矢量是可以移動的，關鍵是不改變它的方向(角度)和長度。圖5-11b表示了這三個矢量A、B和C的合成情況。你可以看到，這三個矢量組成了一個封閉的三角形，所以它們的和為零，因此該物體處於平衡狀態。假定兩個力施加在一個物體上，且它們的和不等於零。那麼，怎樣才能找到第三個力,使得它與原來的兩個力加在一起時的合效果為零，從而使物體處於平衡狀態呢?要找到這個力，首先應該求出已經施加在物體上的那兩個力之和。這種與兩個獨立的力加在一起的效果相同的單個力即是合力。你要尋找的第三個力就是與這個合力大小相等、方向相反的力。這種施加在物體上從而使物體處於平衡狀態的力稱為平衡力(equilibrant)。在已知兩個力的情況下尋找平衡力的步驟如圖5-12所示。注意,這個方法對於任何數目的力都是成立的。
【練一練】
33.一隻螞蟻以恆定的速率爬上一座與豎直方向夾角為30°的蟻冢。作出這隻螞蟻的受力分析圖。【練一練】
38.考慮例題5中那隻放在斜面上的紙板箱。計算其加速度的大小。4s後這隻紙板箱的速度為多大?在研究沿斜面運動的問題時，最關鍵的是選擇坐標系。由於物體的加速度通常平行於斜面，所以在選擇坐標系時，x軸一般應選取平行於斜面方向。y軸垂直於x軸，因此也就垂直於斜面。採用這樣的坐標系後，兩個力，即正壓力和摩擦力，分別在這兩個坐標軸的方向上。但重力卻不是。這意味著，當物體放在斜面上時，物體與斜面間的正壓力一般並不等於該物體的重力。
因為需要將牛頓定律分別應用於x方向和y方向，而重力並不指向這兩個方向中的任一個方向，因此，在這兩個方向上對力求和時，必須先將重力分解為x分量和y分量。分解的方法在例題5和例題6中已經作了介紹。
42.力 將汽車拉出泥坑的一種辦法，是將一根結實的粗繩的一頭系在汽車上，另一頭系在一根樹幹上，然後在繩子的中點處沿著垂直於繩子的方向拉繩。畫出受力分析圖，並說明為什麼此時即使作用於繩子的力較小，也會有較大的力作用於汽車。43.質量 一塊很大的記分板用10根牢固的纜束系在體育館的天花板上。其中六根纜束與豎直方向夾角為8.0°、另四根的夾角為10.0°。如果每根纜束的張力是1 300.0 N，那麼這塊記分板的質量是多少?102. 如圖5-22所示，用力F 推動一塊質量為M 的木塊，使它前面的的那塊質量較小的木塊不至於落下。較大木塊與它下面的表面之間沒有摩擦力。已知兩木塊間的靜摩擦因數是µs。嘗試用M、m、µs，以及g來表示F 的大小。
複習與提高103.如圖5-23所示，一個彈簧稱受到三根繩子的拉力。這個彈簧秤所受到淨力的讀數是多少?
104. 雪橇 一架質量為50.0 kg的雪橇被拉著在白雪覆蓋的平地上行進。已知雪橇與雪地間的靜摩擦因數是0.30，動摩擦因數是0.10。
a. 這架雪橇重多少?
b. 為了使這架雪橇動起來，需用多大的力?
c. 為了使這架雪橇保持勻速行駛，需用多大的力?
d. 啟動後，為了使這架雪橇以3.0 m/s2的加速度行駛，總共需多大的力?
參考資料：物理•原理與問題(上) [美]保羅•齊澤維茨 等著