求和終結篇:歐拉-麥克勞林求和公式的拓展應用

2020-12-23 電子通信和數學

前一篇文章，我們了解了歐拉-麥克勞林公式的原理，它是歐拉和麥克勞林各自獨立發現的，這個公式提供了用積分求和分方法。能非常準確的計算離散形式下級數和的形式。

將上式改寫成標準的公式，一次導數，二次導數，三次導數標準形式如下

其中式子中的常數項為伯努利數

如果將定積分的下限改為1，下圖左邊的式子就變成了右邊的樣式，且0次導數中的減號要變成加號，右邊式子的推導留給有興趣的朋友，但必須精通數學分析微積分所有知識，

所以定積分下限為1的積分求和歐拉-麥克勞林公式如下樣式

都知道歐拉是第一個得出自然數平方倒數和等於π^/6的數學家，轟動一時

我們現在就用歐拉-麥克勞林求和公式來驗證上述的結論，如下圖f(x)函數就等於1/x^2

上式計算後就得到如下的結果

當n趨於無窮大時，如下藍色部分分母都是無窮大，所以藍色部分趨於0

無窮條件下，綠色部分就和黃色部分相等，我們進一步驗證

當n=9時，如下綠色部分的結果，和綠色部分加藍色部分的結果，兩者相差非常下，所以歐拉-麥克勞林公式非常準確

我們還可以用此來計算連續自然數立方倒數和的形式，這個留給讀者自己去驗證。

到此所有有關求和的文章就結束了，希望對你有所幫助

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