數值積分中的重要公式:解讀歐拉-麥克勞林公式的原理

2020-12-26 電子通信和數學

前面的五篇文章都討論了自然數求和過程中存在的數學奧秘，伯努利在研究這些原理時發現了伯努利數，將一般的自然數任意次冪求和原理向前推動了一步

連續自然數任意次冪求和公式

伯努利發現了伯努利數

伯努利數

伯努利將求和公式用伯努利數替代，大大簡化和方便了公式的

用矩陣表示出來就是：非常明了

接著偉大的歐拉繼續推進伯努利的成果，發現連續自然數任意次冪的倒數之和也和伯努利數有關，如下圖，而且還與π有關。

數學家歐拉和麥克勞林根據已有的成果，設想是否能找到一個通用公式來表示自然數任意形式下的和呢？

就像泰勒和麥克勞林發現了泰勒級數和麥克勞林級數一樣，任意一個函數都可以展開寫成無窮多項式形式

泰勒級數原理：冪級數的和如果是一個具有所有階導數的連續函數，但反過來如果一個函數在一個區間上具有各階導數，它能否表示成一個冪級數嗎？他的係數是什麼？

發現三角函數級數形式的過程原理

歐拉和麥克老林從級數原理出發，將其引用到求和上面，舉例：如下圖原理：自然數2次方對應的函數f(x)形式

如果例子換成7x，就是如下圖樣式：這裡的S1,S2,S3,S4指的是自然數1次，2次，3次方之和

如果和是多項式，則函數f(x)對應的自然數之和形式，下圖所示

根據上面三個例子，回到我們的正文，S和f(x)對應的式子就是：

根據伯努利數形式下自然數任意次冪之和，在結合上圖中S所表示的級數形式

由此得到

那麼上圖方格中第一行相加就是

上式括號中的式子正好是f(t)所展開級數的積分形式，所以上圖可以寫成如下形式

我們在看格子中有關B1的第二行，

我麼將t換成n，很明顯換成如下圖形式

就得到伯努利數B1形式下的公式

同理我們看第三行：依照同樣的原理，

由得到伯努利數B2形式下的公式

依次類推，最終得到著名的歐拉-麥克勞林公式，它是數值分析中非常重要的公式

關於歐拉-麥克勞林公式的實際應用原理，我們下一篇再討論，本篇文章較長，但通俗易懂，還需細細品味。

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