讓我們來發現巧妙而又簡單的歐拉對數正弦積分的解
首先我們假設該積分等於I
我們的方法是證明I滿足方程I=2I，這當然意味著從兩邊減去I後I=0。
要做到這一點，我們需要找到一種巧妙的方式來表示I。關鍵的是將巧妙地使用sin（x）、cos（x）和log（x）的行為。
回想一下，對於任何數字u，我們都有以下等式：[
另一個重要的三角恆等式，倍角公式是：
sin(2x) = 2cos(x)sin(x)
sin(x)的對稱性
我們從如下圖形可以看出sinx是如何對稱的。
這種對稱性的一個結果是：
當你看log(sinx)的圖像時，這就很明顯了。
對數函數的一個重要性質是：
這個很有用，因為它可以和倍角公式結合起來
求解歐拉logsin積分
我們現在用一個替換
這給出了一個新的關於(π/2 - u)的積分，接下來我們利用我們所學到的sin和cos的關係：
到目前為止，一切都順利。但我們想求I + I的值。
這裡的困難在於，一個積分是u，另一個積分是x。下一步操作可能會感到有點困難，但要意識到的關鍵是x和u是「虛擬變量」。它們表示某種東西，在本例中是圖形下的一個區域，因此使用哪個變量名並不重要。所以我們把du和u改成dx和x。
由上述的基本數學知識，進一步得到
我們再做一次替換
sin（v）與π/2是對稱的。這意味著以下觀點成立：
2和2相消，最後得到
與我們最初的表達式的唯一區別是一個不同的「虛擬變量」。像以前一樣，我們可以將v改回x，dv改回dx：
請點擊到此結束了！歐拉對數正弦積分被攻克！！