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按照慣例，我們先水娛樂知識：
我們在高中一年級就知道彈弓效應最早可以從碰撞中了解到，如下圖所示：
其原理即是在運動參考系中彈性碰撞換到地面系中疊加了一部分速度，也就是「偷走了」運動物體的一部分動能
請助我一臂之力！（天義）
1.《流浪地球》中的引力彈弓效應
按照影片中描述的計劃，人類給地球安裝上萬座巨大的重元素聚變發動機（這個內容我們會在下一期介紹），它們被稱作行星發動機，推動地球逃離年邁的太陽，飛往最近的恆星——比鄰星。
要讓地球飛往比鄰星，需要脫離太陽引力，只靠人造的發動機還不夠，於是電影裡讓地球藉助木星的引力彈弓。
當地球靠近木星時，會被其強大的引力吸引，從而加快行進速度，由於木星本身也在繞太陽公轉，所以木星吸引地球的同時，賦予了地球一部分速度，地球相當於被加速了，最後地球逃離木星的時候，會被木星像拋球一般拋出去，從而達到脫離太陽系所需速度。這就是引力彈弓效應。
2.實際生活中的應用
引力彈弓效應不是新發現，蘇聯在1959年發射的「月球3號」探測器就利用了引力彈弓效應。最早提出這個技術的人是蘇聯科學家尤裡·康德拉圖克, 他在1918年左右發表的論文《致有志於建造星際火箭而閱讀此文者》中提出了引力助推的概念。此人還設計了人類登月的方式，並最終被美國宇航局採納，阿波羅號宇宙飛船就是基本按照尤裡的設想建造的。在精確計算後利用天體的引力彈弓效應，可以在不消耗太空飛行器本身能量的情況下，改變太空飛行器的速度和前進方向，幫助太空飛行器抵達目標。
3.臨時看到一篇文章——疫情將會帶來經濟的「引力彈弓效應」
因無法設置超連結（不知道為什麼），所以請讀者自行複製到瀏覽器查看
連結：
https://mp.weixin.qq.com/s?src=11×tamp=1597830688&ver=2532&signature=eFnX*fTJN7xH288nMdfFSAha6Vheb9d9yxdjw4XK9XYBZizT4R*yXiG7XUfUbraJXrKZk6wNlN5j*OrpGGlgbIFAXsQQ*5dZT6XM7tJXStWg6y5211UK9asOODdPJPxR&new=1
下面開始本期的重點內容——從經典方法到真實操作
我們曾經多次遇到過引力彈弓效應的相關習題，比如這麼一道典型介紹題：
土星的質量為5．67×10 kg，以相對於太陽的軌道速率9．6 km／s運行 ．一 空間探測器質量為150kg，以相對於太陽l0．4 km／s的速率逆向土星飛行．由於土星引力，探測器繞過土星沿和原來速度相反的方向離去，求它離開土星後的速度．
書中認為探測器從土星旁飛過時可視為一種無接觸的「碰撞」過程，並得出探測器 離開土星後的速 度為 29．6 km／s．如下圖所示。
我們不禁產生了以下許多疑問：
1.這道題裡頭有沒有考慮到飛行器和土星作用的最小距離問題（顯然最小距離影響到引力的作用）？
2.土星引力作用下飛行器的軌跡是什麼樣子，圖中反向飛走的操作是不是太騷了？
3.難道飛行器經過土星就一定能加速嗎？或者在什麼情況下能夠加速？
這一切的一切好像都源自我們沒有考慮土星的實際大小，而是簡化為了質點。我們肯定不滿足於這種於實際相差較大的處理方式。那我們就用類似於粒子散射的辦法來重新看待這個問題。下面，我們將藉助文獻，從幾個方面依次回答一些問題，並且給出一些結論。
*1：關於探測器的運動軌跡
*2偏轉角φ
其中，m2，u，G已知，那麼cot（φ/2）就與瞄準距離ρ成正比
討論：
（1）瞄準距離ρ取0，那麼相當於二者發生碰撞，正如題解所示。
（2）瞄準距離ρ趨向於0，φ接近於π，近似沿反方向離去
（3）瞄準距離ρ大於0，φ小於π，相對土星是雙曲線
這樣看來，題解只不過是討論（1）的情況。為了更精確地看待這個問題，我們嘗試求解一下實際情況，也就是要考慮到飛行器和行星之間距離最小只能取到行星半徑的情況。
*3：速度公式的推導
*4：計算結果和討論
首先，我們已知的是飛行器和行星之間距離最小為行星的半徑
因此，我們首先對散射角公式進行其他變形，把瞄準距離ρ改為用R（行星半徑）表示
然後我們把最後出射時飛行器的速度用已知量表示：
其中，正負號只表示飛行器是按照什麼方向飛來的
*5：從圖中可以看出以下幾點：
1)不是所有的α都能夠實現增速的效果，對於逆時針情況 ，α>αc1時才會實現增速，對於順時針情況α>αc2 時才會實現增速；
2)逆時針比順時針情況下的飛行器出射速率明顯地大，故以逆時針入射更為有利；
3)對於逆時針情況，存在一一 個最佳的初始速度夾角αc ，取其時飛行器增速最大．（當然這個點我們可以求導計算出來）
參考文獻：《淺議彈弓效應》秦月婷 《大學物理》2014年2月
《「彈弓效應」的計算與討論》於鳳軍 《大學物理》2015年8月