因動點而產生的直角三角形問題，是函數與幾何綜合的熱點問題之一，經常出現在考卷的壓軸題位置。不少學生聽到函數二字，心理會抖上幾抖，聽到函數與幾何綜合幾個字，可能直接就產生了放棄的念頭。其實，這個問題，並不難。按著本文的思想，認真做一個題，兩個題，認清此類問題的本質，問題可解。下面，我們一起來看看具體處理方法。
對這類解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程並驗根．具體說一下，如何分類呢？一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然後按照三角比或勾股定理列方程。其次有時根據直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半列方程更簡便。尤其關注的是解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角函數的問題聯繫在一起。如果直角邊與坐標軸不平行，那麼過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便。在平面直角坐標系中，兩點間的距離公式常常用到。在具體問題往往要畫出直角狀況的示意圖，怎樣畫直角三角形的示意圖呢？如果已知直角邊，那麼過直角邊的兩個端點畫垂線，第三個頂點在垂線上；如果已知斜邊，那麼以斜邊為直徑畫圓，直角頂點在圓上（不含直徑的兩個端點）．
解直角三角形存在性問題時，若沒有明確指出直角三角形的直角，就需要進行分類討論．通常這類問題的策略有：
（1）幾何法：先分類討論直角，再畫出直角三角形，後計算．如圖，若∠ACB＝90°，過點A、B作經過點C的直線的垂線，垂足分別為E、F，則△AEC∽△FCB ,從而得到線段的關係式解決問題．
（2）代數法：方法①列方程法：先羅列三邊長，再分類討論直角，根據勾股定理列出方程，然後解方程並檢驗．有時候幾何法和代數法相結合，可能使得解題又快又好！
方法②直線解析式法：在平面直角坐標系中，兩直線垂直，其斜率乘積為－1。利用這樣結論可使得解題簡潔流暢！
1.如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，其中點E為CD的中點．有一動點P，從點A按A→B→C→E的順序在矩形ABCD的邊上移動，移動到點E停止，在此過程中以點A、P、E三點為頂點的直角三角形的個數為（ ）
A．2 B．3C．4D．5
【分析】先由點P在AB的中點時，可組成直角三角形，再根據直徑所對的圓周角是直角，可得有兩個直角三角形，再令E為直角頂點有一個直角三角形．
【解答】如圖，有四個直角三角形：①當P在AB的中點時，∠AP1E＝90°；②以AE為直徑的圓與BC有兩個交點，則∠AP2E＝∠AP3E＝90°；③過E作EP⊥AE，交BC於P，則∠AEP4＝90°；故選：C．
2．（2018秋普寧市期末）如圖，直角△ABC中，∠A為直角，AB＝6，AC＝8．點P、Q、R分別在AB、BC、CA邊上同時開始作勻速運動，2秒後三個點同時停止運動，點P由點A出發以每秒3個單位的速度向點B運動，點Q由點B出發以每秒5個單位的速度向點C運動，點R由點C出發以每秒4個單位的速度向點A運動，用t（秒）（0≤t≤2）表示運動時間，在運動過程中：
（1）當t為何值時，△APR的面積為4；
（2）求出△CRQ的最大面積；
（3）是否存在t，使∠PQR＝90°？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
∵∠REQ＝∠QFP＝90°，∴∠ERQ+∠EQR＝90°，
∵∠PQR＝90°，∴∠EQR+∠PQF＝90°，
∴∠ERQ＝∠PQF，∴△REQ∽△QFP．
【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質，三角形的面積公式，解（1）的關鍵是求出QD，QE，解（2）的關鍵是建立函數關係式．
3．（2019郊區一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線x＝﹣2與x軸交與點C，與拋物線y＝﹣x2+bx+c交於點A，此拋物線與x軸的正半軸交於點B（1，0），且AC＝2BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方拋物線上的一點．過點P作PD垂直於x軸於點D，交線段AB於點E，使DE＝3PE．
①求點P的坐標；
②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為以AB為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出符合條件的點M的坐標；若不存在，說明理由．
【點評】本題主要考查二次函數、勾股定理的綜合應用，解決第（2）②小題的題目種，構成直角三角形的問題時，若能求得三角形的長度，則可以利用勾股定理解決，同時此類問題中，要注意分類討論思想的應用．
4．（2019錫山區一模）已知拋物線y＝mx2﹣4mx+n（m＜0）的頂點為A，與x軸交於B、C兩點（點B在點C左側），與y軸正半軸交於點D，連接AD並延長交x軸於點E，連接AC、DC．已知△DEC與△AEC的面積比為3：4．
（1）求點E的坐標；
（2）求點B、C的坐標；
（3）△AEC能否為直角三角形？若能，求出此時拋物線的函數表達式；若不能，請說明理由．
【解析】（1）根據題意畫出函數圖象的大致形狀，通過配方法求得拋物線對稱軸為直線x＝2；發現△DEC與△AEC同以CE為底時，面積比即為高的比，取拋物線與x軸交點為F，即得到DO與AF的比；利用相似把高的比值轉化為EO與AF的比，進而求得EO的長，E（﹣6，0）；
（2）根據DO：AF＝3：4，列得關於m和n的關係式，用m表示n再代入拋物線解析式，利用因式分解法即求得其與x軸的交點，B（﹣2，0），C（6，0），
（3）先確定只有∠EAC能為直角，所以有母子型相似，再根據對應邊的比相等列得關於m的方程，進而求出m．
由題意可知，AE，AC不可能與x軸垂直，
∴若△AEC為直角三角形，則∠EAC＝∠EAF+∠CAF＝90°，
∵AF⊥EC，∴∠EFA＝∠AFC＝90°，∴∠AEF+∠EAF＝90°，∴∠AEF＝∠CAF
【點評】本題考查了二次函數的圖象與性質，相似三角形的判定和性質．二次函數綜合題中，靈活運用配方法和因式分解法可快速求得特殊點的坐標．
5．（2018秋太倉市期末）如圖1，拋物線y＝a（x﹣1）2+4與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，M為拋物線的頂點，直線MD⊥x軸於點D，E是線段DM上一點，DE＝1且∠DBE＝∠BMD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AC，在直線MD上是否存在點P，使得△PAC成為直角三角形？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，連接MC交x軸於點F，G為線段MD上一動點，以G為等腰三角形頂角頂點，GA為腰構造等腰△GAH，且H點落在線段MF上，若在線段MF上始終能找到兩個這樣的點H，則此時動點G的縱坐標y的取值範圍是_____．（直接寫出結果）
【點評】本題為二次函數綜合運用題，涉及到解直角三角形、一次函數、不等式等知識，其中（3），若在線段MF上始終能找到兩個這樣的點H，則AG＞HG，是本題的難點．