圖形存在問題在各地中考中屢見不鮮,常常作為中考數學的壓軸題.這類問題常常以圖形的變化或圖形上點的運動為主線，要求我們判斷和說明符合某一結論的現象是否存在.解答這類問題，可首先假設這種現象存在，再考慮利用化「動」為「靜」的策略，構造方程關係式或函數關係式，進行判斷和說明.下面舉例說明如何利用模型法破解特殊三角形存在性問題。
類型1、等腰三角形的存在問題
「兩圓一線」模型：
在平面直角坐標系中遇到等腰三角形的相關問題後，通常是以頂點作為分類標準，這樣就可以構造輔助圓來解決問題。比如下圖中，確定一點M，使三角形ABM為等腰三角形，處理方法如下：當以點A為頂點時，M點的軌跡就是以點A為圓心，AB長為半徑的圓，然後根據約束條件來求解；當以點B為頂點時，M點的軌跡就是以點B為圓心，AB長為半徑的圓上，然後根據約束條件來求解；當以點M為頂點時，點M的軌跡就在線段AB的垂直平分線上，然後根據約束條件來求解。
如：已知：定點A(2，1),B(6，4)和動點M（m，0）,可通過「兩圓一線」模型確定存在等腰三角形ABM
例1（2018秋江陰市期中）已知：如圖1：射線MN⊥AB於點M，點C從M出發，以1cm/s的速度沿射線MN運動，AM＝1，MB＝4，設運動時間為ts，
（1）當△ABC為等腰三角形時，求t的值；
（2）當△ABC為直角三角形時，求t的值；
（3）點C在運動的過程中，若△ABC為鈍角三角形，則t的取值範圍是_______．
【分析】（1）藉助「兩圓一線」模型分析探究動點C的位置，分CB＝AB、AB＝AC和AC＝BC三種情況，根據等腰三角形的性質和勾股定理計算即可；
（2）根據勾股定理列式計算；
（3）由②的結論結合圖形解答即可；
【解答】（1）當CB＝AB時，
在Rt△MCB，BC＝5，BM＝4，
由勾股定理得：MC＝3，
則t＝3s；
當AB＝AC時，
在Rt△MCA，AM＝1，AC＝5，
由勾股定理得：MC＝2√6，則t＝2√6s；
當AC＝BC時，C在AB的垂直平分線上，與條件不合；
∴當t＝3s或2√6s時，△ABC為等腰三角形；
（2）∵由題意∠ACB＝90°時，
∴AC^2+BC^2＝AB^2，
設CM＝x，在Rt△MCB中由勾股定理得：BC^2＝x^2+4^2，
在Rt△MCA中，由勾股定理得：AC^2＝x^2+1^2，
∴x^2+4^2+x^2+1^2＝5^2，解得x＝2，∴t＝2s；
（3）∵當t＝2時，△ABC為直角三角形，
∴0＜t＜2時，△ABC為鈍角三角形；
故答案為：0＜t＜2；
【點評】本題屬於三角形綜合題，考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是學會用分類討論的思想解決問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬於中考常考題型．
例2（2018秋慈利縣期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸交於點A，與y軸交於點C（0，2），且與反比例函數y＝8/x在第一象限內的圖象交於點B，作BD⊥x軸於點D，OD＝2．
（1）求直線AB的函數解析式；
（2）設點P是y軸上的點，若△PBC的面積等於6，直接寫出點P的坐標；
（3）設M點是y軸上的點，且△MBC為等腰三角形，求M點的坐標．
【分析】（1）由BD⊥x軸，OD＝2，即可求得點B的坐標，然後利用待定係數法即可求得此一次函數的解析式；
（2）由點P是y軸上的點，若△PBC的面積等於6，可求得CP的長，繼而求得點P的坐標．；
（3）藉助「兩圓一線」模型分析探究動點M的位置，分類討論：以BC為底和以BC為腰兩種情況來解答．
【解答】：（1）∵BD⊥x軸，OD＝2，
∴點D的橫坐標為2，
將x＝2代入y＝8/x，得y＝4，∴B（2，4），
設直線AB的函數解析式為y＝kx+b（k≠0），
將點C（0，2）、B（2，4）代入y＝kx+b得b=2,2k+b=4，
∴k=1,b=2，
∴直線AB的函數解析式為y＝x+2；
（2）∵點P是y軸上的點，若△PBC的面積等於6，B（2，4），
即S△PBC＝1/2CP×2＝6，
∴CP＝6，
∵C（0，2），
∴P（0，8）或P（0，﹣4）．
（3）∵B（2，4），C（0，2），
∴BC＝2．
①當BM＝BC時，點B是線段MC垂直平分線上的點，此時M（0，6）；
②當MC＝BC＝2√2時，M′（0，2+2√2），或M″（0，2﹣2√2）．
③當BM＝BC時，M（0，4）．
綜上所述，滿足條件的點M的坐標是（0，6）或（0，2+2√2）或（0，2﹣2√2）或M（0，4）．
【點評】此題考查了反比例函數綜合題，涉及到了待定係數法求一次函數的解析式以及反比例函數與一次函數的交點問題，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．
練習1.（2018秋易門縣期中）如圖，拋物線y＝ax2+3x+c經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交於點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在第一象限的拋物線上，且點P的橫坐標為t，過點P向x軸作垂線交直線BC於點Q，設線段PQ的長為m，求m與t之間的函數關係式，並求出m的最大值；
（3）在x軸上是否存在點E，使以點B，C，E為頂點的三角形為等腰三角形？如果存在，直接寫出E點坐標；如果不存在，請說明理由．
【練習1答案及提示】（1）y＝﹣x^2+3x+4；
拋物線y＝ax^2+3x+c經過A（﹣1，0），B（4，0），把A、B兩點坐標代入上式，解得：a＝﹣1，c＝4，即可求解，
（2）當t＝2時，m的最大值為4
設點P的橫坐標為t，則P（t，﹣t^2+3t+4），Q（t，﹣t+4），則PQ＝﹣t^2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t^2+4t，即可求解；m＝﹣t^2+4t＝﹣（t﹣2）^2+4（0＜t＜4）．
（3）存在．分EC＝BE、BC＝CE、BC＝BE分別求解即可．E（﹣4.0）或（4，0）或（0，0）或（4﹣4√2，0）或（4+2√2）．
滿分技法: 等腰三角形的存在問題分解題策略
1. 假設結論成立；
2. 找點：當所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如下：
① 當定長為腰時，找已知條件上滿足直線的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，若所畫弧與坐標軸或拋物有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與坐標軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；
② 當定長為底邊時，根據尺規作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線有交點時，那交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線無交點時，滿足條件的點不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點.
3. 計算：在求點坐標時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添加輔線構造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質進行求解
類型2、直角三角形的存在問題
「一圓一線」模型：
當定長為直角三角形的直角邊時，分別以定長的某一端點做定長的垂線，與坐標軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點；當定長為直角三角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與坐標軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點；
例3（2018春羅山縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點P從點B出發，沿射線BC以2cm/s的速度移動設運動的時間為ts當t＝_____ 時，△ABP為直角三角形．
【分析】首先根據勾股定理求出BC的長度，再分兩種情況：①當∠APB為直角時，②當∠BAP為直角時，分別求出此時的t值即可．
【解答】∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，
∴BC＝4 cm．
①當∠APB為直角時，點P與點C重合，BP＝BC＝4 cm，
∴t＝4÷2＝2s．
②當∠BAP為直角時，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP^2＝3^2+（2t﹣4）^2，
在Rt△BAP中，AB^2+AP^2＝BP^2，
∴5^2+[3^2+（2t﹣4）^2]＝（2t）^2，
解得t＝25/8s．
綜上，當t＝2s或25/8s時，△ABP為直角三角形．
故答案為：2s或25/8s．
例4.已知拋物線y＝x^2﹣x﹣2．
（1）求拋物線頂點M的坐標；
（2）若拋物線與x軸的交點分別為點A、B（點A在點B的左邊），與y軸交於點C，點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數關係式及自變量t的取值範圍；
（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將已知的拋物線解析式化為頂點坐標式，即可求出拋物線頂點M的坐標．
（2）根據拋物線的解析式可求出A、B、C三點的坐標，進而可求出直線BM的解析式，已知了QN＝t，即N點縱坐標為﹣t，代入直線BM的解析式中，可求得Q點的橫坐標即OQ得長，分別求出△OAC、梯形QNCO的面積，它們的面積和即為所求的四邊形QNCO的面積，由此可求出S、t的函數關係式．
（3）根據函數的圖象及A、C的位置，可明顯的看出∠APC不可能是直角，因此此題要分兩種情況討論：
①∠PAC＝90°，設出點P的坐標，然後表示出AC2、PA2、PC2的值，根據勾股定理可得到關於P點橫、縱坐標的等量關係式，聯立拋物線的解析式，即可求出此時點P的坐標；
②∠PCA＝90°，解法同①．
【點評】此題是二次函數的綜合題，考查了二次函數頂點坐標及函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、圖形面積的求法、直角三角形的判定、勾股定理等知識，要注意的是（3）題一定要根據不同的直角頂點分類討論，以免漏解．
練習2.如圖，正方形ABCO的邊長為√5，O為原點，BC交y軸於點D，且D為BC邊的中點，拋物線y＝ax2+bx+c經過B、C且與y軸的交點為E(0，10/3)：
（1）求點C的坐標，並直接寫出點A、B的坐標；
（2）求拋物線的解析式及對稱軸；
（3）探索在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．
【練習2答案及提示】（1）C（1，2），A（﹣2，1）、B（﹣1，3）．
過C作CF⊥x軸於F，在Rt△OCF中，易證得∠OCF＝∠COD，則它們的正切值相同，可得CF＝2OF，再根據勾股定理即可求出OF、CF的長，由此可得C點的坐標；同理可求出A、B的坐標；
若△PBC是直角三角形，存在三種情況：
①∠PBC＝90°，則P點必為直線AB與拋物線對稱軸的交點，可先求出直線AB的解析式，聯立拋物線的對稱軸方程即可求出P點的坐標；
②∠PCB＝90°，則P點必為直線OC與拋物線對稱軸的交點，方法同①；
③∠BPC＝90°，可以BC為直徑作圓，那麼P點即為圓與拋物線對稱軸的交點；可過D作拋物線對稱軸的垂線，設垂足為M，連接DP，根據拋物線的對稱軸即可得到DM的長，而DP是圓的半徑即1/2BC長，在Rt△DPM中，即可用勾股定理求出PM的值，進而可求出P點的縱坐標，而P點橫坐標與拋物線的對稱軸的值相同，由此可得到P點的坐標．
滿分技法:探究直角三角形的存在性
①先假設結論成立，根據直角頂點的不確定性，分情況討論；
②找點：當所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時，需分情況討論，具體方法如下：
a． 當定長為直角三角形的直角邊時，分別以定長的某一端點做定長的垂線，與坐標軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點；
b．當定長為直角三角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與坐標軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點；
③計算：把圖形中的點坐標用含有自變量的代數式表示出來，從而表示出三角形的各個邊(表示線段時，注意代數式的符號)．再利用相似三角形的性質得出比例式，或者利用勾股定理進行計算，或者利用三角函數建立方程求點坐標．
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