貝爾不等式 走近量子糾纏

2021-02-18 中科院高能所

■張天蓉/文

1963-1964年，在長期供職於歐洲核子中心（CERN）後，約翰·貝爾有機會到美國史丹福大學訪問一年。北加州田園式的風光，四季宜人的氣候，附近農莊的葡萄美酒，離得不遠的黃金海灘，加之史丹福大學既寧靜深沉，又寬鬆開放的學術氣氛。這美好的一切，孕育了貝爾的靈感，啟發了他對EPR佯謬及隱變量理論的深刻思考。

貝爾開始認真考察量子力學能否用局域的隱變量理論來解釋。貝爾認為，量子論表面上獲得了成功，但其理論基礎仍然可能是片面的，如同瞎子摸象，管中窺豹，沒有看到更全面、更深層的東西。在量子論的地下深處，可能有一個隱身人在作怪：那就是隱變量。

根據愛因斯坦的想法，在EPR論文中提到的，從一個大粒子分裂成的兩個粒子的自旋狀態，雖然看起來是隨機的，但卻可能是在兩粒子分離的那一刻（或是之前）就決定好了的。打個比喻說，如同兩個同卵雙胞胎，他們的基因情況早就決定了，無論後來他（她）們相距多遠，總在某些特定的情形下，會作出一些驚人相似的選擇，使人誤認為他們有第六感，能超距離地心靈相通。但是實際上，是有一串遺傳指令隱藏在它們的基因中，暗地裡指揮著他們的行動，一旦我們找出了這些指令，雙胞胎的『心靈感應』就不再神秘，不再需要用所謂『非局域』的超距作用來解釋了。

儘管粒子自旋是個很深奧的量子力學概念，並無經典對應物，但粗略地說，我們可以用三維空間的一段矢量來表示粒子的自旋。比如，對EPR中的糾纏粒子對A和B來說，它們的自旋矢量總是處於相反的方向，如下圖中所示的紅色矢量和藍色矢量。這兩個紅藍自旋矢量，在三維空間中可以隨機地取各種方向，假設這種隨機性是來自於某個未知的隱變量L。為簡單起見，我們假設L只有八個離散的數值，L=1，2，3，4，5，6，7，8，如下圖所示，分別對應於三維空間直角坐標系的八個卦限。

由於A、B的糾纏性，圖中的紅矢和藍矢總是應該指向相反的方向，也就是說，紅矢方向確定了，藍矢方向也就確定了。因此，我們只需要考慮A粒子的自旋矢量（紅矢）的空間取向就夠了。假設紅矢出現在八個卦限中的概率分別為n1,n2…n8。由於紅矢的位置在8個卦限中必居其一，因此我們有：

n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8 = 1。

 

現在，我們列出一個表，描述A、B的自旋矢量在3維空間可能出現的8種情況。下圖中的左半部分列出了在這些可能情況下，自旋矢量在xyz方向的符號：

既然AB二粒子系統形成糾纏態，互為關聯，我們便定義幾個關聯函數，用數學語言來更準確地描述這種關聯的程度。比如，我們可以如此來定義Pxx(L)：觀察x方向紅矢的符號，和x方向藍矢的符號，如果兩個符號相同，函數Pxx(L)的值就為+1，否則，函數Pxx(L)的值就為-1。我們從上表左邊列出的紅矢藍矢的符號不難看出，Pxx(L)的8個數值都是-1。然後，我們使用類似的原則，可以定義其他的關聯函數。比如說，Pxz(L)，是x方向紅矢符號，與z方向藍矢符號的關聯，等等。

在上圖中的右半部分，我們列出了Pxx(L)，以及Pxz(L)、Pzy(L)、Pxy(L)的數值。

現在，貝爾繼續按照經典的思維方式想下去：我們的小孫悟空A和B蹦出石頭縫時，它們的兩個自旋看起來是隨機的，但實際上是按照上面的列表互相關聯。然後，他們朝相反方向拼命跑。經過了一段時間之後，兩個小孫悟空分別被如來佛和觀音菩薩抓住了。如來和觀音分別對A和B的自旋方向進行測量。因為L是不可知的隱變量，因此，只有關聯函數的平均值才有意義。根據上面表中的數值，我們不難預測一下這幾個關聯函數被測量到的平均值：

Pxx = -n1-n2-n3-n4-n5-n6-n7-n8 = -1

Pxz = -n1+n2+n3-n4+n5-n6-n7+n8

Pzy = -n1-n2+n3+n4+n5+n6-n7-n8

Pxy = -n1+n2-n3+n4-n5+n6-n7+n8

讓我們直觀地理解一下，這幾個關聯函數是什麼意思呢？可以這樣來看：Pxx代表的是A和B都從x方向觀測時，它們的符號的平均相關性。因為糾纏的原因，A、B的符號總是相反的，所以同被在x方向觀察時，它們的平均相關性是-1，即反相關。類似的，Pxz代表的是從x方向觀測A，從z方向觀測B時，它們符號的平均相關性。如果自旋在每個方向的概率都一樣，即：n1=n2=…n8=1/8的話，我們會得到Pxz為0。對Pzy和Pxy，也得到相同的結論。換言之，當概率均等時，如在相同方向測量A、B的自旋，應該反相關；而如果在不同方向測量A和B的自旋，平均來說應該不相關。

我們可以用一個通俗的比喻來加深對上文的理解：兩個雙胞胎A和B，出生後從未見過面，互相完全不知對方情況。一天，兩人分別來到紐約和北京。假設雙胞胎誠實不撒謊。當紐約和北京的警察問他們同樣的問題：「你是哥哥嗎？」，如果A回答「是」，B一定是回答「不是」，反之亦然。對這個問題，他們不需要互通消息，回答一定是反相關的，因為問題的答案是出生時就因出生的順序而決定了的（這可相仿於Pxx=-1的情況）。但是，如果紐約警察問A：「兩人中你更高嗎？」，而北京警察問B：「你跑得更快嗎？」，按照我們的經典常識，兩人出生後互不相識，從未比較過彼此的高度，也從未一起賽跑。所以，他們的回答就應該不會相關了（這可相仿於Pxz=0的情況）。

現在再回到簡單的數學：我們在Pxz、Pzy和Pxy的表達式上，做點小運算。首先，將Pxz和Pzy相減再取絕對值後，可以得到：

|Pxz-Pzy| = 2|n2-n4-n6+n8| = 2|(n2+n8)-(n4+n6)|  （7.1）

然後，利用有關絕對值的不等式|x-y|<=|x|+|y|，我們有：

2|(n2+n8)-(n4+n6)| <= 2(n2+n4+n6+n8) =

(n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8)+(-n1+n2-n3+n4-n5+n6-n7+n8) = 1+Pxy  （7.2）

這樣，從（7.1）和（7.2），我們得到一個不等式：

|Pxz-Pzy|<= 1+Pxy  （7.3）

這就是著名的貝爾不等式。上述不等式是貝爾應用經典概率的思維方法得出的結論。因此，它可以說是在經典的框架下，這三個關聯函數之間要滿足的約束條件。也就是說，經典的孫悟空不可以胡作非為，它的行動是被師傅唐僧的緊箍咒制約了的，得滿足貝爾不等式！

但是，如果是量子世界的量子孫悟空，情況又將如何呢？當然只有兩種情形：如果量子孫悟空也遵循貝爾不等式，那就好了，萬事大吉！愛因斯坦的預言實現了。量子論應該是滿足『局域實在論』的，量子孫悟空表現詭異一些，只不過是因為有某些我們不知道的隱變量而已，那不著急，將來我們總能挖掘出這些隱變量的。第二種情況：那就是量子孫悟空不遵循貝爾不等式，貝爾用他的『貝爾定理』來表述這種情形：「任何局域隱變量理論都不可能重現量子力學的全部統計性預言」。如果是這樣的話，世界好像有點亂套！

不過沒關係，貝爾說，重要的是，這幾個關聯函數是在實驗室中可能測量到的物理量。這樣，我的不等式就為判定EPR和量子力學誰對誰錯提供了一個實驗驗證的方法。

那好，理論物理學家們說，我們就暫時停止耍嘴皮，讓將來的實驗結果來說話吧。

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參考資料：

E. C. G. Sudatshan and Tony Rothman「A New Interpretation of Bell’s Inequalities」International Journal of Theoretical Physics, Volume 32, Number 7, 1077-1086,

走近量子糾纏系列

1、薛丁格、女朋友、貓 

2、男孩物理學

3、上帝擲骰子嗎？

4、波爾和愛因斯坦之爭

5、量子糾纏態

6、幫倒忙的貝爾

來源：張天蓉科學網博客

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