初三數學 中考複習 幾何圖形的摺疊問題 一線三直角模型不可忽視

#河北中考#摺疊問題在中考數學中也是常考問題，而一線三垂直模型則是這個問題中常考的模型，同時在一些壓軸題的幾何題中也經常是出現，那麼在這裡呢，就開始是介紹這個問題。

本文章共四部分：①例題②例題剖析③例題詳解④知識歸納，共2183字。

01例題：摺疊問題

如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD

沿直線EF摺疊，使點B的對應點M始終落在邊AD上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，MN與CD交於點P，設BE=x.

（1）當AM=1/3時，求x的值.

（2）隨著點M在邊AD 上位置的變化，△PDM的周長是否發生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定值.

（3）設四邊形BEFC的面積為S ，求S與x之間的函數解析式，並求出S的最小值.

圖11-1

02例題剖析

（1）由摺疊性質可知BE=ME=x,結合已知條件知AE =1-x.在Rt△AME中，根據勾股定理得(1-x)+(1/3)=x,解得x=5/9.

（2）△PDM的周長不會發生變化，且為定值2.連接BM、BP,過點B作BH丄MN.根據摺疊性質知BE = ME.由等邊對等角得∠EBM = ∠EMB;由等角的餘角相等得∠MBC= ∠BMN；由全等三角形的判定（AAS）得Rt△ABM≌Rt△HBM，根據全等三角形的性質AM=HM,AB = HB = BC.又根據全等三角形的判定（HL）得Rt△BHP≌Rt△BCP;根據全等三角形的性質得HP = CP .由三角形周長和等量代換即可得出△PDM周長為定值2.

⑶過F作FQ丄AB.連接BM.由摺疊性質可知∠BEF=∠MEF，BM丄EF，由等角的餘角相等得∠EBM = ∠EMB =∠QFE ；由全等三角形的判定（ASA）得Rt △ABM≌Rt△QFE;由全等三角形的性質得AM=QE.設AM的長為a.在Rt△AEM中，根據勾股定理得(1-x)+a=x,從而得AM=QE= 根號下（2x-1）,BQ=CF =x-根號下（2x-1）.根據梯形的面積公式代入即可得出S與丄的函數解析式；又由(1-x)+a=x,得x=(a+1)/2,代入梯形面積公式即可轉為關於a的二次函數，配方從而求得s得最小值.

03例題詳解

（1）由摺疊性質可知BE=ME =x；因為正方形ABCD的邊長為1,故AE=1-x.

在Rt△SME中，有AE+AM=ME,即(1-x)+(1/3)=x,解得x=5/9.

（2）△PDM的周長不會發生變化，且為定值2.

連接BM、BP，過點B作BH丄MN，如圖11 - 2.

圖11-2

因為 BE=ME，所以∠EBM=∠EMB.

因為 ∠EBC=∠EMN = 90°,所以 ∠MBC=∠BMN.

因為正方形 ABCD，所以 AD //BC ,AB=BC,∠AMB =∠MBC=∠BMN.

在 Rt△ABM 和 Rt△HBM 中,∠A = ∠BHM=90°, ∠AMB =∠BMN,BM = BM，

可知 Rt△ABM≌Rt△HBM（AAS）,

所以AM=HM，AB = HB=BC.

在 Rt△BHP 和 Rt△BCF 中,BP = BP,BH=BC,

所以 Rt△BHP≌Rt△BCP（HL）,有 HP=CP.

因為 △PDM周長= MD + DP +MP=MD + DP +MH + HP =

MD+DP+AM+PC=AD+DC=2,

所以△FDM的周長不會發生變化，且為定值2.

（3）過F作FQ丄AB,連接BM,如圖11 - 3.

圖11-3

由摺疊性質可知∠BEF=∠MEF. BM⊥EF.

所以∠EBM + ∠BEF = ∠EMB + ∠MEF = ∠QFE +∠BEF=90°.

所以 ∠EBM=∠EMB = ∠QFE.

在 Rt△ABM 和 Rt△QFE中，

∠ABM=∠QFE,AB=QF, ∠A= ∠EQF=90°，.

故可知 Rt△ABM≌Rt△QRE(ASA),有 AM=QE.

設 AM 長為 a .在 Rt△AEM 中,AE+AM = EM.

即(1-x)+a=x,得 a =AM=QE=根號下（2x-1）.

又 BQ=CF =x-根號下（2x-1）,

所以 S =1/2* (CF+BE) *BC

=1/2* (x-根號下（2x-1）+x)* 1

=1/2*(2x-根號下（2x-1）).

又(1-x)+a=x,解得x=(a+1)/2.

所以 s=1/2*(a-a+1)=1/2*(a-1/2)+3/8.

因為0<a<1,所以當a=1/2時,S最小，最小值為3/8.

04知識歸納

摺疊（翻折）問題常常出現在三角形、四邊形、圓等平面幾何問題中，其實質是軸對稱性質的應用.摺疊前後兩個圖形可以看成成軸對稱，折金問題可以與圖形軸對稱問題相互轉化。在摺疊變換中要明確對稱軸（摺痕），要利用對稱軸準確作出摺疊後圖形，找出摺疊前後的等線段、等角、全等三角形，甚至垂直平分線等，進而能得到一些線段、角度等之間的數量關係,位置關係，最終運用三角形的全等、相似及方程等知識解決問題.

三角形摺疊中，會生成相等的線段和角，這樣可將分散的條件集中.如果題目中有直角，則通常將條件集中於較小的直角三角形，利用勾股定理求解.

平行四邊形摺疊中，通常利用軸時稱性質和平行線性質求角的度數.或者利用軸對稱性質以及勾股定理求線段長度。矩形中的兩次或多次折摺疊通常出現「一線三直角」的模型（如圖11 4）,從而構造相似三角形，利用相似三角形求邊或者角的度數.

圖11-4

摺疊背景下求解線段長的思路如圖11-5.

圖11-5