#初中數學學習#
01單元解讀
今天非常有幸給大家介紹一下平面幾何中最帥氣的圖形——正方形。
有人經過多次調查得到結論：圖是平面幾何中最漂亮的圖形。看到這個結論，作為一名數學老師，我覺得挺有意思。但我們都知道，漂亮是用來形容女性的，所以為了讓數學不成為一門有遺憾的學科，我就一直在思考，應該給這個女性化的圓，找一個相輝映的男性——最帥氣的平面幾何圖形。經過多次調查，並反覆思考，我推薦了正方形作為這個最帥氣的圖形。
理由有三：一是正方形的方具有陽剛之氣，與圓的陰柔之美相響應；二是方圓相對，反映現象生活世界的和諧之美；三是正方形具有優秀的品質。他兼具所有四邊形、平行四邊形、菱形、矩形、箏形、梯形等圖形的優點，具有很強的適應能力與學習能力，屬於典型的優質男。
這些優秀的品質，不正是我們做人的追求麼？所以，還是把最帥的平面幾何圖形稱號授予正方形吧！
既然如此優質，那麼在考試中，正方形也經常坐在壓軸題的交椅上，成為各省、直轄市和自治區的重點考查對象之一。
在正方形這個單元，以壓軸題出現在考卷中十分的普遍，而且往往一考就難住眾生，最終考試得分慘不忍目睹。
本單元考查主要以正方形的綜合題為主，可以結合的知道點幾乎遍布初中三年的數學內容，比如正方形的性質和判定，全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理的綜合運用、三角函數、一次函數．反比例函數、二次函數、角直角三角形、一元二次方程、不等式（組）等，經常結合圖形的平移、圖形的旋轉、圖形的翻折、圖形的位似等圖形變換來考查學生的綜合理解能力和靈活運用能力。
這裡出現的考題，往往難度大、過程複雜。需要大家在平時的複習中多下功夫進行梳理思考。比如訓練題目中的第9題，一個看似簡單的填空題，但大家要得到一個正確的答案，其書寫過程本身就是一個非常「霸氣」的，超過語文中的一道大作文題。
02閱讀提示
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03中考真題精選
04參考答案
05經典題目解析
一、選擇題
2. 分析因為一般四邊形的中點四邊形是平行四邊形，當對角線BD=AC時，中點四邊形是菱形，當對角線AC⊥BD時，中點四邊形是矩形，當對角線AC=BD，且AC⊥BD時，中點四邊形是正方形。
3. 分析首先證明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再證明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性質即可一一判斷．
4. 分析由正方形的性質得出，，證明得出，求出，在上取一點，使，則，，由直角三角形的性質得出，，設，則，，則，解得：，得出，即可得出結果．點評本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、直角三角形的性質等知識；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
5. 分析①由正方形證明OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COM＝∠DOF，便可得結論；②證明點O、E、C、F四點共圓，得∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，進而得OGE∽△FGC便可；③先證明S△COE＝S△DOF，∴便可；④證明△OEG∽△OCE，得OGOC＝OE2，再證明OGAC＝EF2，再證明BE2+DF2＝EF2，得OGAC＝BE2+DF2便可．
點評本題屬於正方形的綜合題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理的綜合運用．解題時注意：全等三角形的對應邊相等，相似三角形的對應邊成比例．
6. 分析①由正方形的性質可以得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，通過證明△ABE≌△ADE，就可以得出BE＝DE；②在EF上取一點G，使EG＝EC，連結CG，再通過條件證明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE＝EF；
③過B作BM⊥AC交於M，根據勾股定理求出AC，根據三角形的面積公式即可求出高DM，根據三角形的面積公式即可求得S△DEC＝﹣；④解直角三角形求得DE，根據等邊三角形性質得到CG＝CE，然後通過證得△DEH∽△CGH，求得＝＝+1．
點評本題主要考查對正方形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的面積，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行證明是解此題的關鍵．
7.點評本題考查翻折變換，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬於中考選擇題中的壓軸題．
二、填空題
8. 分析首先證明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度數，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判斷． 點評本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、菱形的判定和性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是通過計算發現角相等，學會這種證明角相等的方法，屬於中考常考題型．
9.考點PB：翻折變換（摺疊問題）；LE：正方形的性質．分析如圖1，作輔助線，構建全等三角形，根據全等三角形對應邊相等證明FQ=BQ=PE=1，△DEF是等腰直角三角形，利用勾理計算DE=EF=，PD==3，如圖2，由平行相似證明△DGC∽△FGA，列比例式可得FG和CG的長，從而得EG的長，根據△GHF是等腰直角三角形，得GH和FH的長，利用DE∥GM證明△DEN∽△MNH，則，得EN=，從而計算出△EMN各邊的長，相加可得周長．
10. 分析當DG=，CG=2時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=，可得正方形EFGH的面積為13．當DG=8，CG=1時，滿足DG2+CG2=CD2，此時HG=7，可得正方形EFGH的面積為49．
11. 分析設AD=x，則AB=x+2，利用摺疊的性質得DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，則可判斷四邊形AEFD為正方形，所以AE=AD=x，再根據摺疊的性質得DH=DC=x+2，則AH=AE﹣HE=x﹣1，然後根據勾股定理得到x2+（x﹣1）2=（x+2）2，再解方程求出x即可．
12. 分析①由摺疊得AD＝AF＝AB，再由HL定理證明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正誤；②設BG＝GF＝x，由勾股定理可得（x+a）2＝x2+（a）2，求得BG＝a，進而得GC＝GF，得∠GFC＝∠GCF，再證明∠AGB＝∠GCF，便可判斷正誤；
③設BG＝GF＝y，則CG＝a﹣y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的兩個三角形的面積比等於底邊之比，求得△CGF的面積，便可判斷正誤；④證明∠FEC＝∠FCE，得EF＝CF＝GF，進而得EG＝2DE，CG＝CE＝a﹣DE，由等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關係式便可得結論，進而判斷正誤；
⑤設BG＝GF＝b，DE＝EF＝c，則CG＝a﹣b，CE＝a﹣c，由勾股定理得bc＝a2﹣ab﹣ac，再得△CEG的面積為BGDE，再由五邊形ABGED的面積加上△CEG的面積等於正方形的面積得結論，進而判斷正誤．
點評本題主要考查正方形的性質及全等三角形的判定和性質，勾股定理，利用摺疊得到線段相等及角相等、正方形的性質的運用是解題的關鍵．涉及內容多而複雜，難度較大．
13. 分析由摺疊及軸對稱的性質可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先證△ABF≌△DAE，推出AF的長，再利用勾股定理求出BF的長，最後在Rt△ADF中利用面積法可求出AH的長，可進一步求出AG的長，GE的長．
點評本題考查了正方形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，面積法求線段的長度等，解題關鍵是能夠靈活運用正方形的性質和軸對稱的性質．
三、證明題
14. 分析：（1）根據旋轉的性質證明∠BCP=∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ；（2）①根據全等的性質和對頂角相等即可得到答案；②根據等邊三角形的性質和旋轉的性質求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，判斷△DEP的形狀．
點評：本題考查的是正方形的性質、三角形全等的判定和性質以及旋轉的性質，掌握正方形的四條邊相等、四個角都是直角，旋轉的性質是解題的關鍵．
16. 分析（1）作ME∥AB、MF∥BC，證四邊形BEMF是正方形得ME＝MF，再證∠CME＝∠FMN，從而得△MFN≌△MEC，據此可得證；
（2）由FM∥AD，EM∥CD知＝＝＝，據此得AF＝2.4，CE＝2.4，由△MFN≌△MEC知FN＝EC＝2.4，AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，從而得出答案；
（3）把△DMC繞點C逆時針旋轉90°得到△BHC，連接GH，先證△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可設BG＝3a，則MG＝GH＝5a，繼而知BH＝4a，MD＝4a，由DM+MG+BG＝12a＝6得a＝，知BG＝，MG＝，證△MGC∽△NGB得＝，從而得出答案．
點評本題是相似三角形的綜合問題，解題的關鍵是掌握正方形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質及相似三角形的判定與性質等知識點．
17. 分析（1）由正方形ABCD與正方形OEFG，對角線AC、BD，可得∠DOA＝∠DOC＝90°，∠GOE＝90°，即可證得∠GOD＝∠COE，因DO＝OC，GO＝EO，則可利用「邊角邊」即可證兩三角形全等
（2）過點M作MH⊥DO交DO於點H，由於∠MDB＝45°，由可得DH，MH長，從而求得HO，即可求得MO，再通過MH∥DG，易證得△OHM∽△ODG，則有＝，求得GO即為正方形OEFG的邊長．
點評本題主要考查對正方形的性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，比例的性質，直角三角形的性質等知識點的理解和掌握，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．
18. 分析（1）先判斷出，再由四邊形是正方形，得出，，即可得出結論；
（2）設，先求出，進而得出，再求出，，再判斷出，進而判斷出，即可得出結論；
（3）先求出，再求出，再判斷出，求出，再用勾股定理求出，最後判斷出，得出，即可得出結論．
點評此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，判斷出是解本題的關鍵．
19. 分析（1）證明，得，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結論；
（2）如圖，連接，交於，計算和的長，得，根據三角函數可得的長，從而得和的長，利用勾股定理計算的長，最後根據四邊的和計算結論．
點評此題主要考查了正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，三角函數和全等三角形的判定等知識．充分利用正方形的特殊性質來找到全等的條件從而判定全等後利用全等三角形的性質解題，第二問有難度，恰當地作出輔助線是關鍵．
21. 分析：根據正方形的性質，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根據餘角的性質，可得∠ADE=∠BAF，根據全等三角形的判定與性質，可得BF與AE的關係，再根據等量代換，可得答案．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了正方形的性質，餘角的性質，全等三角形的判定與性質，等量代換．
22. 考點：四邊形綜合題．分析（1）根據平行四邊形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，連接CE，根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；
（2）根據全等三角形的性質得到CF=AD，等量代換得到AC=CF，於是得到CP=AB=AE，根據平行四邊形的判定定理即可得到四邊形ACPE為平行四邊形；
（3）過E作EM⊥DA交DA的延長線於M，過E作EN⊥FC交FC的延長線於N，證得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根據全等三角形的性質即可得到結論．
23. 考點：四邊形綜合題．分析（1）根據正方形的性質證明△APE≌△CFE，可得結論；（2）分別證明∠PAE=45°和∠BAC=45°，則∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；（3）分別計算PG和BG的長，利用平行線分線段成比例定理列比例式得：，即，
24. 分析（1）通過證明△ABF≌△DEA得到BF=AE；（2）設AE=x，則BF=x，DE=AF=2，利用四邊形ABED的面積等於△ABE的面積與△ADE的面積之和得到xx+x2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，則EF=x﹣2=4，然後利用勾股定理計算出BE，最後利用正弦的定義求解．
25. 分析（1）利用同角的餘角相等判斷出∠BAG=∠DAE，進而得出△ADE≌△BAF，即可得出結論；（2）先判斷出△ABG∽△DEA，進而得出=k，再根據銳角三角函數即可得出結論；（3）先判斷出S1=S△BHG，再判出S2=S△BHG，即可得出結論．
26. 分析（1）過點作於，作於，由正方形的性質得出，由角平分線的性質得出，證得四邊形是正方形，得出，證出，證明，即可得出結論；（2）證明，得出，求出，由勾股定理得出，由直角三角形的性質得出，，證明，得出，求出，即可得出結果；
（3）過點作於，證明得出，求出，得出，，由勾股定理得出，由三角形面積公式即可得出結果．
點評本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理、角平分線的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似和三角形全等是解題的關鍵．