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利維坦按：
「對於我們的理性推論存在著兩大原則：其一是矛盾原則，這就是說，兩個相互矛盾的命題中一個是真理，另一個是謬誤；其二是充足理由原則，根據此一原則，任何事物的產生都不可能沒有原因或者至少不會沒有一個確定的理由。這是指某種能夠用來先天地進行解釋的東西，它說明為什麼某物存在著而不是不存在，為什麼某物恰恰如此存在而不是以完全另一種方式存在。」萊布尼茨的本體論證明是基於《神義論》中的兩個原則（尤其是充足理由原則），當然，如果按照休謨的懷疑論來看，它仍然需要回答一個問題，即：為何作為整體的宇宙/世界必須要有一個充足的理由呢？或者說，存在是一個經驗事實，還是超驗事實？
萊布尼茨那句「我們的宇宙，在某種意義上是上帝所創造的最好的一個」，或許在很多人看來過於樂觀，但在他的自有認知體系中，卻是對於惡之存在的一種合理化詮釋——上帝創造世界不可能如上帝本身一樣完美。
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哥德爾：20世紀最偉大的邏輯學家之一。 The Conversation
我們知道，庫爾特·哥德爾（Kurt G del，1906-1978，出生於奧匈帝國的數學家、邏輯學家和哲學家，維也納學派成員，編者注）在人生的最後階段對萊布尼茨（1646-1716）做了大量深入的研究工作。哥德爾對萊布尼茨痴迷至極，按照他本人的說法，當有人毀掉了萊布尼茨的部分手稿時，卡爾·門格爾（Karl Menger，美籍奧地利數學家，編者注）問哥德爾：「誰能從毀掉萊布尼茨的手稿中獲得好處？」哥德爾會說：「自然是那些不希望人類變得更聰明的人！」（門格爾，1994）。當他的友人們建議他專注於自己的研究，而非鑽研、閱讀萊布尼茨的作品時，他一概置之不理。最終，不出意料，哥德爾繼續追隨著萊布尼茨的腳步，像萊布尼茨一樣為上帝之存在提供了本體論證明。
戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716），德國哲學家、數學家。 ND/Roger Viollet/Getty Images
在這篇文章中，我將引用萊布尼茨的成果和闡釋，例如他的通用表意文字和二進位數字系統，以便讀者對他的部分成果有所了解，尤其是涉及數學哲學的那一部分。我還將解釋萊布尼茨是如何理解證明和分析的概念的。最後，我將重點討論萊布尼茨在神學和形上學/哲學框架下的數學學科中的地位。
通用表意文字（Characteristica universalis）
「拉丁語『characteristica universalis』，在英語中通常譯為普遍特徵（universal characteristic）或通用字符（universal character），是戈特弗裡德·萊布尼茨所設想出的一種通用的形式語言，能夠表達數學、科學和形上學方面的概念。萊布尼茨希望創建的是一種可以在通用邏輯運算或者說推理演算框架之下加以使用的語言。」（維基百科，2019）
萊布尼茨的「通用表意文字」，這是他推理演算的基礎。 Internet Archive
萊布尼茨意識到，政治或哲學方面的辯論和研究並不遵循數學方法。他認為，數學家也很可能像其他人一樣犯錯誤，但他們也有一些工具可用以發現自己的錯誤。然而，哲學家沒有數學家那樣的工具，所以他們往往會犯更多的錯誤。
儘管哲學界有亞里斯多德派或柏拉圖派，數學界卻沒有「歐幾裡德派」或「阿基米德派」（引自《數學與神學：一項歷史研究》[Mathematics and the Divine: A Historical Study]「萊布尼茨思想中的上帝與數學」一章，第485-498頁）。根據萊布尼茨的觀點，有必要對思想進行數學化，以便解決由感情而非正義所支配的爭端；為了使思想中的重要部分形式化，數學領域需要產生符號和規則。
正如萊布尼茨在他的《通用表意文字序言》（Preface to a Universal Characteristic）中解釋的那樣，通用表意文字將揭示我們思維的「字母表」，分析其基本概念，而基於這些概念，就能以一種明確的方式判斷一切事物（引自萊布尼茨《哲學文集》[Philosophical Essays]，第5-10頁）。因此，主張兩種不同觀點的哲學家之間將不必再發生衝突，他們會挨著坐在一起說：「讓我們計算一下吧！」（「Calculemus！」）然後他們就能計算出自己想法的準確性！
萊布尼茨的通用表意文字是一種計算公式。這種思想是基於將基本的或不可約的想法與質數相匹配。一個數字刻畫一個基本想法：這就是特徵數（characteristic number）。讓我們引用萊布尼茨本人在文章中給出的一個例子，他在該篇文章中討論了特徵數文字的樣本（引自萊布尼茨《哲學文集》，第10-18頁）。假設我們給出兩對數（13, 5）和（8, 7），它們分別對應「人是理性的動物」這一命題中「動物」和「理性」這兩個基本概念。那麼刻畫「人」這一概念的數字就是（[13×8], [-5×7]）=（104, -35）。
根據這一思想，由於質數的數目是無限的，所有基本或不可約的概念都可以分配到一個、一對或一組三個數字；因此，其他複合概念可以以質數乘積的形式獲得，整個語言系統都可以被映射成數字。
二進位數字系統（Binary Number System）
二進位數字系統
二進位數字系統在萊布尼茨之前就已經存在，但萊布尼茨是第一個以系統、成熟的方式記錄它的人。在一封信中，萊布尼茨描述了他如何處理萬物從無到有和二進位數字系統這兩個問題。這是萊布尼茨思想中神學和數學（乃至物理學）巧妙地發生相互作用的例子，我會在後面提到這點。
針對萬物創生和二進位系統，萊布尼茨設計了一枚金屬紀念章（硬幣）。該獎章上刻有以下字句：「（上帝）創世的場景」（Imago creationism），「自無導出萬物，一足矣」（Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum）和「只需一物」（Unum est necessarium）。萊布尼茨遵循畢達哥拉斯學說，聲稱萬物的起源或本質是一個數字。眾所周知，在二進位數字系統中，所有的數字都可以用0和1來表示。萊布尼茨把0解釋為「無」，把1解釋為「上帝」，他認為二進位系統象徵著創造，因此一切都可以用這個系統表達。對萊布尼茨來說，一切都是0和1的組合。根據這一理論，萬物都來自「1」，也就是上帝。
萊布尼茨本人繪製並出版了這枚紀念章。
對萊布尼茨來說，二進位數字系統揭示了上帝創世的美麗和完美。也就是說，二進位系統中的單個數字可能看起來並不美，但是當它們被一個接一個地寫下去時，美就從整個系統的秩序感中誕生了。類似的，在這個世界上也許有些東西，我們單獨看它們並不喜歡，但是當我們找到正確的視角，就會發現它是完美的。
萊布尼茨的數字神秘主義並不止於此，他還說過諸如「上帝喜歡奇數」之類的話。鑑於我們不想就這個問題展開太多，再舉最後一個例子即可：萊布尼茨說，創世後的第七天在二進位中是一個非零（「完美」）數字，這是對於上帝六天創世的許多數字類比的一個補充。它還指出，111點代表著三位一體（引自《數學與神學：一項歷史研究》「萊布尼茨思想中的上帝與數學」一章）。
現代意義上的「證明」概念
正如科學哲學家伊恩·哈金（Ian Hacking）指出的那樣，笛卡爾並不知道什麼是當代意義上的「證明」。相比之下，萊布尼茨的理解則更接近於現代對證明的定義（哈金，2002）。他認為笛卡爾的數學準確性與證明無關。對於笛卡爾來說，即使一件真實的事情沒有被證明，它也是自然真實的。因此，事物的真值與對它的證明是不相關的。
勒內·笛卡爾（René Descartes，1596-1650）。 維基百科
我們也不要忘記，笛卡爾並不尋找證明，而是尋找能夠給出新的數學結果的實用方法。現代證明概念之所以出現，是因為萊布尼茨認識到證明的有效性不在於其內容，而在於其形式。所以，「證明」是根據特定邏輯規則，始於特定同一性的特定句子的有限數量的序列。
如果我們回憶一下笛卡爾的方法，會注意到他在收集新信息時非常重視直覺，而在萊布尼茲對證明的理解中，關鍵在於找到我們所擁有的句子的「機械」證明。
萊布尼茨提出的證明思想多半受到了他那個時代的思想的影響。正如哈金所說（哈金，2002，第202頁），習慣上每個時代都有一位深深動搖了此前各種思想的人，而每個時代的人們也要找到並推翻這個人；萊布尼茨就在他的時代扮演著這樣一個角色。
事實上，有關他那個時代「證明」這一觀念的出現，萊布尼茨本人提供了一個說得過去的解釋。當幾何作為精確度的衡量標準時，很難發展出現代意義上的證明概念：這是因為幾何證明主要是基於它們的「內容」。這種證明的有效性取決於它們是否符合所研究的幾何對象的已知性質。隨著笛卡爾幾何學的代數化，證明轉化為形式的途徑得以開闢。
分析
當一個陳述是謂項、等同於主項的項，或陳述中的謂項包含於主項中時，它被稱為分析性陳述。例如，假如我們說「所有的人都是活著的」，對於萊布尼茨而言，我們的意思是「活著」的概念包含在「人」的概念之內（引自萊布尼茨《哲學文集》，第11頁），所以這個陳述是分析性的。根據萊布尼茨的觀點，所有的數學真理都是分析性的。
伊曼努爾·康德（Immanuel Kant，1724-1804）。 Biography.com
眾所周知，伊曼努爾·康德通過努力改造萊布尼茨的實在（reality）概念，引入了分析-綜合區別（analytic-synthetic distinction）。康德認為，分析先驗知識是只能通過邏輯獲得的信息。綜合先驗知識是利用時間和空間直覺所獲得的信息。康德認為，算術學中的數線和幾何學中的直線都是基於直覺的綜合先驗知識。
這裡，我們想強調的是，萊布尼茨對分析和公義的理解（儘管康德已經改變了這些含義）塑造了弗雷格（Gottlob Frege）和羅素等邏輯學家的基本主張，他們在20世紀早期試圖將所有的數學陳述歸結為邏輯。此外，萊布尼茨的「公理可以被證明」的觀點很可能也影響了邏輯學家。不僅如此，萊布尼茨本人也試圖對某一數學證明中所用的原理給出有力的證明。
萊布尼茨的證明概念和分析概念是相輔相成的，因為在證明過程中，從任何一個陳述中推導出其他陳述，都符合分析的概念。
神聖的數學（Mathematica Divina）
到目前為止，我們已經接觸了萊布尼茨關於數學的一些觀點。本文提出的問題之一是，萊布尼茨對待數學的看法無法和他的神學和形上學/哲學觀點區分開。比如，我們已經在上面提到過，萊布尼茨並不把二進位數字系統理解為一個算術問題。
布雷格（Breger）如是引用道，對於萊布尼茨來說，數學和神學就像是「通向上帝的階梯」（引自《數學與神學：一項歷史研究》「萊布尼茨思想中的上帝與數學」一章，第493頁）。要想理解萊布尼茨，就要對他眼中數學、神學和形上學之間的關係一一進行討論解決。這樣一個複雜的問題無法在這篇短文中盡數闡明；因此，我將僅僅提及其中幾個問題，給讀者一個大致印象。
萊布尼茨希望他的數學成就能引起人們對他的哲學和神學思想的注意；畢竟，數學成就是一個人意志堅韌的標誌。萊布尼茨的這種個人層面的「機會主義」反映了他所處時代社會層面的另一種機會主義。眾所周知，去往中國的基督教傳教士利用歐洲的數學成就來給中國人留下深刻的印象，然後使他們信仰基督教。萊布尼茨會毫不猶豫地贊同這一做法。
事實上，對於萊布尼茨而言，通用表意文字方法是向那些不信仰上帝的人展示真相的最可靠的方法，因為它可以像一架天平一樣測量和顯示一切事物的準確值（引自《數學與神學：一項歷史研究》「萊布尼茨思想中的上帝與數學」一章，第9頁）。換句話說，傳教士們用這種計算方法向非基督徒展示真理，這將足以引導他們走向基督教！
萊布尼茨使用數字作為通用表意文字有其形上學的基礎所在。萊布尼茨論述了「上帝依據一定的尺度、數目和衡量創造萬物」的信仰，這也是柏拉圖的觀點。萊布尼茨認為：有些物體沒有重量，所以它們的重量無法計算；有些物體沒有維度，所以它們的長度無法測量，但任何東西都可以數出數目。總之，數字是一切事物的本質。
根據萊布尼茨的說法，上帝是一位完美的數學家。創造的行為與「神聖的數學」（Mathesis quaedam Divina）一同發生。萊布尼茨在他的著名文章《論事物的終極起源》（On the Ultimate Origin of Things）中說，萬物的起源是一種「形上學的機制」或「神聖的數學」（引自萊布尼茨《哲學文集》，第151頁）。世界上的一切都是按照一定的尺度和規律存在的，這些規律不僅是「幾何」的，而且是「形上學的」（同上，第152頁）。
對於萊布尼茨來說，一個自由意志的世界，即使其中存在著殘忍和邪惡，也比一個沒有殘忍、邪惡和自由意志的世界要好，他在《神義論》（Theodicy，又名《神正論》）和許多其他著作中都提到過這點。這就是對上帝何以創造一個存在邪惡之世界的解釋。在所有可能的世界中，為什麼上帝以這種方式創造了這個世界，而不是另一個世界？
對萊布尼茨而言，這就是一個完美的世界！也就是說，作為一個完美的數學家，上帝計算了所有可能的世界，並創造了其中最好的那個。要證明這是所有可能中最好的世界，一個例子是，獅子是危險的動物，但是如果沒有它們，這個世界將不那麼完美。
此外，我們對這個世界的福祉的評估僅限於我們迄今為止所知曉的和經歷過的事件。然而，上帝在選擇這個最完美的世界時，考慮了全部的時間和所有的造物（引自萊布尼茨《哲學文集》，第149-155頁）。萊布尼茨在這方面給出的另一個例子是，一個出生在監獄裡的人不能僅僅通過環顧四周就斷定整個世界都是壞的。畢竟，對於萊布尼茨來說，個體只能看到某一部分，而上帝在考慮過一切後才做決定。
不了了之
萊布尼茨那迷人的通用表意文字計劃從未付諸實施。大衛·希爾伯特（David Hilbert）為萊布尼茨的思想辯護，認為這一思想的數學形式是可行的，並據此提出了一個計劃。欽佩萊布尼茨的哥德爾證明了不完備定理（Deficiency Theorem），並指出像通用表意文字這樣的計劃註定要失敗，這種失敗不僅是哲學層面的，甚至也是數學層面的。
萊布尼茨那部分基於數學的形上學和神學帶來了嚴重的問題。從某種意義上說，萊布尼茨把一切都簡化成了計算。例如，他把上帝比作了解決數學問題的計算器。這看起來似乎自相矛盾，但是很明顯，這樣的上帝在沒有數學解決方案的事情上沒有發言權。萊布尼茨說，在某些地方，即使是上帝也不能做永恆的運算。當萊布尼茨把上帝塑造成一個數學家時，他很清楚，即使是上帝也做不到數學家能做到的事。比如說，上帝不能做無限的運算，但他可以看到結果（就像數學家在求極限時不會逐個地無限次運算下去，而是可以計算出那些無限運算的結果）。此外，萊布尼茨認為，不可能存在一個以上採取絕對數學準確值的、自洽的數學體系。
從這裡生發出了一個萊布尼茨並不感興趣的問題：上帝使用的是哪種數學？
從我們到目前為止所寫的來看，數學在萊布尼茨的一切思想中都佔有重要的地位。在他看來，數學家必須是哲學家，正如哲學家應當是數學家一樣。萊布尼茨在與洛必達（L』H pital）的通信中寫道，他的形上學是數學的，可以用數學的形式書寫（引自《數學與神學：一項歷史研究》「萊布尼茨思想中的上帝與數學」一章）。不僅如此，按照萊布尼茨的看法，數學非常接近於邏輯，即創造新發明的藝術，而形上學與邏輯沒有什麼不同。
「我起初是個哲學家，最後卻成了神學家。」萊布尼茨說。如今，如果有人想理解萊布尼茨的哲學，他們仍然會遇到一個主要的問題：萊布尼茨著作中數學與哲學、形上學及神學之間的關係。
文/Waldo Otis
譯/苦山
校對/凌波微步的兔子
原文/medium.com/however-mathematics/leibniz-and-his-approach-to-god-3246f81da650
本文基於創作共同協議（BY-NC），由苦山在利維坦發布
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