初中數學:利用「斜邊大於直角邊」解一類幾何最值問題

2021-01-15 初中數學解題秀

常識告訴我們，直角三角形中，斜邊大於直角邊。基於這一樸素的數學知識，可以解一類幾何最值問題。下面先展示一下模型：

如圖①：直角三角形，斜邊大於直角邊。

如圖②：直角梯形，斜腰大於直腰。

如圖③：E是動點，垂線段最短。

上述內容，看似沒有新奇，但是數學中常常「平中見奇」，「於無聲處聽驚雷」，下面就來看兩個題目，感受妙用！

例1：在直角三角形△ABC中，∠C=90°，AB=4√3，F是線段AC上一點，經過A的圓F交AB於D，且有ED=EB,則EF的最小值為________

解析：①粗看本題，「手足無措」，EF如何安排呢？

②細看會發現一個「好」條件：ED=EB,那△EDB不就是等腰三角形嗎？馬上想到「三線合一」作EG⊥DB；再看F是圓心，如果再作FH⊥AD,那麼四邊形FHGE就是直角梯形了！

③而HG=DH+DG,由圓中垂徑定理得DH是AD一半；由等腰三角形三線合一得DG是DB一半，所以HG=DH+DG=1/2（AD+DB)=1/2AB=2√3.

④「直角梯形，斜腰大於直腰」，就會得到EF≥HG.所以EF≥2√3.

本題要抓住等腰三角形，垂徑定理這兩個常用條件，它們都會產生「中點」，恰恰是本題快速計算的關鍵。聰明的讀者，自然會提出問題，如果沒有ED=EB這個條件呢？答案是題目依然可以做的，此時△BEG∽△BAC，配合其他新增條件，還是可以表示出GB和DG，餘下方法相同。

例2：如圖，將一個邊長為2√3的等邊三角形△ABC對摺，使A落到BC上，摺痕為DE，求摺疊過程中AD的最小值。

這道題涉及等邊三角形+翻折，看起來沒有任何違和感，但是如何下手，頓生突兀！

請注意，翻折不變性DA=DA',還有題中有好角60°，解題要從這裡著眼。若果過D作BC的垂線段DG,就可以出現兩個直角三角形△DBG和△DGA',顯然這兩個三角形都和AD有關係，而且∠B=60°，好用好用！

如圖出現黃色染色直角三角形，它是一個動態三角形，根據「直角三角形，斜邊大於直角邊」可以建立起不等式關係，快速解題。設AD=A'D=x,用x表示出相關線段DB=4-x,DG=√3/2DB,就可以了。解題思路和過程是否出乎你的意料呢？

本文講的本質是「斜大於等於直」，放大到更加廣義的平面幾何範疇內，哪裡有垂直，哪裡有直角三角形，哪裡有直角梯形，哪裡就會出現「斜大於等於直」的情況。所以這是一條樸素到塵埃裡的一條幾何性質，具有廣譜性，大家在求線段最值問題的時候，要留意這一點。

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