王 璇 鄭方焱
0 引言非圓柱齒輪即節曲線非圓形的齒輪，用來實現變傳動比的傳動要求，被廣泛應用於各種儀器設備中，如液體流量計的卵形齒輪副、汽車變傳動比轉向系統的齒輪齒條副、航空儀表的非圓齒輪副、高機動軍車防滑差速器的行星齒輪、以及變量齒輪泵的卵形齒輪副等。由於其節曲線形式多樣，非圓柱齒輪的設計不能像圓柱齒輪那樣按照給定的齒廓方程來獲得相應的齒廓。目前，非圓柱齒輪的設計方法主要分為兩類：一是根據插齒加工原理，利用數值算法提取出非圓柱齒輪包絡特徵的齒廓數據點；二是利用三維軟體的二次開發，通過插齒刀具布爾運算直接獲得非圓柱齒輪模型。因此，為了實現非圓柱齒輪的修形，需要對相應的齒輪刀具進行修形，從而獲得修形後的非圓柱齒輪。本文按照一種非圓柱齒的齒廓數值算法，獲得非圓柱齒輪三維模型。而在非圓柱齒輪的齒廓數值算法中，齒廓點由插齒刀具的極徑與極角參數計算獲得，故相應的修形插齒刀具要以極徑與極角為修形參數，以此來計算修形後的非圓柱齒輪齒廓。本文提出一種變極徑齒廓修形和一種變極角齒廓修形的插齒刀具模型，利用直線增型變極角齒廓修形插齒刀具，獲得了齒廓修形的非圓柱齒輪。通過有限元仿真驗證，修形後的非圓柱齒輪彎曲應力接觸應力等傳動性能均得到了改善。
1 非圓柱齒輪修形方法1.1 插齒加工非圓柱齒輪原理非圓柱齒輪的齒廓可由插齒刀具在非圓柱齒輪的節曲線上按純滾動運動關係加工而成，其加工過程可在Matlab 中編程實現。以一階橢圓齒輪為例，具有標準漸開線齒廓的插齒刀具包絡非圓柱齒輪齒廓見圖1。
圖1 標準漸開線插齒刀具包絡非圓柱齒輪齒廓
由圖1 可知，插齒刀具的齒廓決定了非圓柱齒輪的齒廓，且插齒刀具齒廓上半部分加工成形非圓柱齒輪齒廓的下半部分；反之，插齒刀具齒廓的下半部分加工成形非圓柱齒輪齒廓的上半部分。1.2 變極徑齒廓修形插齒刀具根據圓柱齒輪精度標準，齒輪的齒廓誤差定義為實際齒廓與理論齒廓在端面內垂直於漸開線齒廓的方向上數值大小。變極徑齒廓修形數學模型如圖2 所示。其中，P 點為修形前齒廓上的點，坐標為（x，y ），αi 為P 點的壓力角，θ 為P 點的極角，Ri 為P 點的極徑。P 點為修形後齒廓上一點，坐標為（x，y ），Δ 為修形量，ΔRi 為極徑修形量。則P 點坐標（x，y ）可表示為
圖2 變極徑齒廓修形數學模型
根據齒輪修形經驗公式， 取Δ ＝ 0.03 mm， 在Matlab 中建立含該變極徑齒廓修形的插齒刀具數學模型如圖3 所示。
圖3 變極徑齒廓修形後的插齒刀具
在該變極徑齒廓修形插齒刀具中，修形部分為插齒刀具齒廓的上半部分，靠近基圓部分極徑發生突變，無法實現修形。該現象產生的原因為極徑變化量ΔRi ＝Δ/sinαi，當靠近基圓R b 時，極徑Ri ＋ Δ/sinαi 趨近於無窮大，造成靠近齒根部分無法修形的現象。而非圓柱齒輪由漸開線插齒刀具展成加工生成，為了避免非圓柱齒輪嚙合傳動時齒頂的齧入衝擊，需要實現對非圓柱齒輪靠近齒頂部分的齒廓修形，就必須要對插齒刀具靠近齒根齒根部分齒廓的修形。該變極徑修形方法無法實現該目的，故提出了一種變極角修形方法。1.3 變極角齒廓修形插齒刀具變極角齒廓修形數學模型如圖4 所示，P 點為修形前齒廓上一點，坐標為（x，y ），αi 為P 點的壓力角，θi為P 點的極角，Ri 為P 點的極徑。P 點為修形後齒廓上一點，坐標為（x，y ），Δ 為修形量，Δθi 為極角修形量。則P 點坐標（x，y ）可表示為
圖4 變極角齒廓修形數學模型
取Δ ＝ 0.03 mm，在Matlab 中建立含變極角齒廓修形的插齒刀具數學模型如圖5 所示。在變極角修形插齒刀具中，實現了對靠近齒根部分齒廓的修形。使用該變極角齒廓修形插齒刀模型可實現對非圓柱齒輪齒廓齒頂附近修形的目的。
圖5 變極角齒廓修形後的插齒刀具
1.4 基於直線增型變極角齒廓插齒刀具的非圓柱齒輪以上變極徑與變極角修形齒廓均是基於恆值型誤差量修形，由於齒輪分度圓以下部分對齒輪嚙合衝擊影響不大，對變極角修形齒廓數學模型進一步優化，選取直線增型修形量，其修形量Δ 可表示為
式中：Δmax 為最大修形量，α a 為齒頂處壓力角，αi為極徑Ri 處壓力角。在本例中，取Δmax ＝ 0.03 mm，建立直線增型變極角齒廓修形插齒刀具模型如圖6 所示。
圖6 直線增型變極角齒廓插齒刀具
利用該直線增型變極角齒廓修形插齒刀具，加工非圓柱齒輪，在Matlab 中編程獲得修形後非圓柱齒輪包絡（紅色曲線）與標準漸開線插齒刀具包絡非圓柱齒輪齒廓（藍色曲線）對比放大圖如圖7 所示。齒廓修形的插齒刀具包絡而成的非圓柱齒輪齒廓，藍色曲線為標準漸開線插齒刀具包絡而成的非圓柱齒輪齒廓。
圖7 修形後與修形前非圓柱齒輪包絡對比圖
基於該修形後的插齒刀具，按照非圓柱齒輪齒廓數值算法，獲得修形後非圓柱齒輪齒廓與修形前非圓柱齒輪齒廓對比如圖8 所示。其中紅色齒廓為修形後非圓柱齒輪齒廓，藍色齒廓為未修形非圓柱齒輪齒廓。
圖8 修形後與修形前非圓柱齒輪齒廓
由圖8 可知，該基於插齒刀具的修形方法可實現對非圓柱齒輪齒頂部分修形的要求，且修形量從齒頂到齒根方向減小，符合設計意圖。
2 有限元仿真分析2.1 有限元模型建立將按照上述修形方法產生的非圓柱齒輪齒廓建立三維傳動模型，導入有限元分析軟體Abaqus 中進行動力學仿真，非圓柱齒輪副有限元模型如圖9 所示。2.2 修形前後非圓柱齒輪傳動等效應力對比修形前後，非圓柱齒輪副分別在單齒嚙合和雙齒嚙合時的等效應力雲圖結果對比如圖10 所示。
（a）修形前 （b）修形後 圖9 非圓柱齒輪傳動有限元模型
（a）修形前齒輪單齒嚙合時受力狀況（b）修形後齒輪單齒嚙合時受力狀況（c）修形前齒輪雙齒嚙合受力狀況（d）修形後齒輪雙齒嚙合受力狀況圖10 非圓柱齒輪等效應力雲圖
由圖10 可知，由於主動輪嚙合點處極徑明顯大於從動輪嚙合點處的極徑，於是在主動輪上的等效應力明顯大於從動輪上的等效應力。所以，只需提取出主動輪上的應力進行對比分析即可。提取出嚙合過程中主動輪等效應力曲線如圖11 所示。
圖11 修形前後主動非圓柱齒輪等效應力曲線
由等效應力曲線可知，修形後的非圓柱齒輪應力明顯有所改善。由等效應力雲圖和等效應力曲線可知，在嚙合過程中出現了雙齒嚙合區，在雙齒嚙合區，等效應力值明顯減小。而在單齒嚙合區，等效應力的值則隨主動輪轉動角度而減小。2.3 修形前後非圓柱齒輪傳動彎曲應力對比由於齒輪嚙合的主要性能取決於齒輪的彎曲應力和齒面的接觸壓力，故需要分別將修形前後非圓柱齒輪副嚙合時的齒根彎曲應力與齒面接觸壓力提取出來進行對比，由此獲得修形前後非圓柱齒輪的嚙合狀況。齒輪在受載時，齒根受到的彎矩最大，由此提取出嚙合過程中主動輪在齒根部位的彎曲應力曲線如圖12所示。
圖12 修形前後主動非圓柱齒輪齒根彎曲應力曲線
由彎曲應力曲線可知，修形後的非圓柱齒輪的彎曲應力明顯得到了改善，且受力區間變大，說明修形後齒輪重合度亦有所增大。同時，當主動輪轉過8°時，該非圓柱齒輪出現了雙齒嚙合區，此時修形前後齒輪彎曲應力均明顯減小。之後，該輪齒退出嚙合，彎曲應力接近於0。2.4 修形前後非圓柱齒輪傳動接觸壓力對比修形前後非圓柱齒輪副在單齒嚙合和雙齒嚙合時的接觸壓力仿真結果對比如圖13 所示，提取出嚙合過程中主動輪接觸壓力的曲線如圖14 所示。由接觸壓力曲線可知，修形後的非圓柱齒輪的接觸壓力變小，說明接觸狀況明顯得到了改善；同樣，當主動輪轉過8°時，該非圓柱齒輪出現了雙齒嚙合區，此時修形前後齒輪的接觸應力明顯減小。
（a）修形前齒輪單齒嚙合接觸壓力狀況（b）修形後齒輪單齒嚙合接觸壓力狀況（c）修形前齒輪雙齒嚙合接觸壓力狀況（d）修形後齒輪雙齒嚙合接觸壓力狀況圖13 非圓柱齒輪接觸壓力圖
由等效應力、彎曲應力和接觸壓力曲線可以得到非圓柱齒輪嚙合傳動中的一個重要結論：在該非圓柱齒輪傳動模型中，初始嚙合時的等效應力和接觸壓力較大，而隨著主動輪轉角的增大，應力均逐漸減小。在整個齒輪副嚙合過程中，主動輪極徑逐漸減小，而從動輪極徑逐漸增大，由於該從動輪在轉動中心處到受恆定的反向力矩M，使得嚙合點處嚙合力隨著從動輪轉動半徑的增大，嚙合力逐漸減小。這恰好驗證了非圓柱齒輪的特性。
圖14 修形前後主動輪接觸壓力曲線
3 結語1）根據插齒加工非圓柱齒輪的原理，選取標準漸開線齒廓的插齒刀具，在Matlab 中編程建立了插齒刀具加工非圓齒輪齒廓的包絡模型。2）以非圓柱齒輪齒廓數值算法中，插齒刀具的極徑極角為參數，建立了變極徑與變極角修形齒廓的插齒刀具，利用直線增型變極角齒廓修形後的插齒刀具獲得了齒廓修形後的非圓柱齒輪。3）在有限元軟體Abaqus 中對修形前後的非圓齒輪傳動模型進行動力學分析，仿真結果驗證了齒廓修形後的非圓柱具有更好的嚙合傳動性能。