來源：聲振測試微信公眾號，作者：於長帥。
正弦掃描振動響應數據的分析處理，一直以來都依賴于振動控制儀和有COLA (Constant Output Level Adaptor) 通道的數據採集系統。對于振動控制儀來說，所發送實時頻率及輸出點數是已知的，可進行理想的實時跟蹤濾波分析，帶有COLA 通道的數據採集系統可根據振動控制儀輸出的等幅COLA信號，實時辨識跟蹤頻率並獲取信號幅值。
而目前國內振動控制儀主要依賴進口且價格昂貴，一般的單位（尤其航天單位）為了關注產品的動力學特性，有大量的響應點要求，因此需要大量的控制儀通道，這樣會造成成本過高。因此，對於響應點信號利用常規的數據採集系統進行的數據採集，然後進行編程後處理得到相應的試驗曲線，常規的數據採集系統的成本要比振動控制儀低得多，這種離線採集和處理的方法對於節約成本具有重要的意義。
該方法的難點在於數據的後處理方法，如何準確和迅速的得到試驗曲線是研究的重點，而本文COLA信號的希爾伯特變換是研究這種方法的一個基礎。
式中，* 表示卷積運算。與卷積的概念進行對比，可以發現，上面的Hilbert 變換的表達式實際上就是將原始信號和一個信號做卷積的結果。這個用來卷積的信號就是
因此，Hilbert 變換可以看成是將原始信號通過一個濾波器，或者一個系統，這個系統的衝擊響應為h(t )。
對h(t ) 做傅立葉變換，可以得到：
或者寫成：
sgn() 是符號函數。從頻譜上來看，這個濾波器將我們的原始信號的正頻率部分乘以-j，也就是說，保持幅度不變的條件下，將相位移動了-pi/2；而對於負頻率成分，移動了pi/2。Hilbert 本質上也是轉向器，對應頻域變換為：即餘弦信號的Hilbert 變換時正弦信號，又有：即信號兩次Hilbert 變換後是其自身相反數，因此正弦信號的Hilbert是負的餘弦。
在工程中常可碰到如下一種窄帶信號：
a(t ) 是描述振蕩振幅變化的，當a(t ) 變化緩慢時，a(t ) 起到快速振蕩函數cos(2πf0t+φ(t )) 的包絡作用，因此，a(t ) 稱為窄帶信號的包絡。
在餘弦振蕩函數cos(2πf0t+φ(t )) 中，我們令
由於θ(t ) 反映了瞬時變化的相位特點，因此，我們稱θ(t ) 為窄帶信號x(t ) 的瞬時相位，當φ(t ) 變化緩慢或為常數時，μ(t )=2πf0，這表明，μ(t ) 反映了信號的頻率特點，因此我們稱μ(t ) 為窄帶信號x(t ) 的瞬時頻率。
根據上文，對窄帶信號x(t ) 做希爾伯特變換，如下式
由窄帶信號公式和上式，知
由上可知，窄帶信號的包絡、瞬時相位和瞬時頻率，可以通過窄帶信號的希爾伯特變換表示出來。
Hilbert 變換可用於分析瞬時頻率，但此方法非常依賴於信號品質，當信號有一定幹擾時，瞬時頻率的分析精度較差，而正弦掃描振動響應信號中，恰恰包含了眾多幹擾信號，直接對響應信號做Hilbert 變換求瞬時頻率是不適合的。振動控制儀輸出的驅動信號，其信噪比高，幹擾極少，非常適合進行瞬時頻率分析。
振動臺進行4-100Hz正弦掃頻試驗，下圖1為振動控制儀輸出的幅值為1V的cola信號。
圖1 COLA信號時域信號
現對該COLA信號進行希爾伯特變換，COLA信號信噪比好，在每個時刻頻率成分較單一，使用Hilbert 變換可求得精確的瞬時頻率和包絡（幅值）。COLA信號時間歷程及其包絡、時間-頻率曲線和頻譜曲線如圖2所示。
圖2 COLA信號Hilbert變換
響應信號包含頻率成分豐富，其包絡信號較複雜，無法真實反映正弦掃描試驗實際驅動頻率下的幅值。且瞬時頻率誤差較大，僅僅趨勢項能反映頻率變化趨勢，無法得出頻譜曲線，下圖3為某響應點時域曲線，圖4為對時域信號的Hilbert 變換曲線。
圖3 響應點信號時域信號
圖4 響應點信號Hilbert變換
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