C威布爾分布為一種常用的連續分布,通常用於機械零件及應力強度疲勞壽命分析。說到連續分布就自然會想到離散型分布，這裡順便總結分類下常用的離散型分布和連續型分布。
1）離散型分布：二項分布，泊松分布；
2）連續型分布：正態分布，對數正態分布，指數分布，威布爾分布，伽馬分布。
關於威布爾分布，標準的威布爾分布有二參數和三參數兩種形式。這裡主要分析下兩種計算二參數威布爾分布形狀參數β,以及尺度參數η的方法(概率紙法,以及Excel計算法）。
如下面第一張截圖可知二參數威布爾累積分布（故障概率）函數以及可靠性函數分別如下：
F(t)=1-exp[-(t/η)^β]--公式1；
R(t)=1-F(t)=exp[-(t/η)^β]公式2；
由公式也可得知威布爾分布形狀參數β與浴盆曲線的關係如下（參考如下第二張截圖）：
1）β<1時，處於浴盆曲線早夭期，故障率逐漸降低；
2）β=1時，威布爾分布為指數分布，處於浴盆曲線底部，此時故障率恆定；
3）β>1時，處於浴盆曲線磨損期，故障率逐漸增高；
舉一實例如下截圖1，20個產品測試1000小時，其中有14個產品在測試過程中分別在如下時間失效：70, 128, 204, 291, 312, 377, 473, 549, 591, 663, 748, 827, 903, 955小時，假設符合二參數威布爾分布，計算威布爾分布的形狀參數β,以及尺度參數η。
解題方法1-威布爾概率紙法；
1）將失效時間依次從小到大排序作為第一行（用作X軸）---如下截圖2；
2）查詢中位秩表（如下截圖4），樣品總量為20，則中位秩值依次為：0.034,0.083,0.132.0.672作為第二行（用作Y軸）; 將各個中位秩值依次對應第一步排序的失效時間（如下截圖2）
這裡中位秩值也可以通過公式：Median Rank rj=(j-0.3)/(N+0.4)（如下截圖5）計算獲得，這裡j為失效次序（1,2....),N為樣本總量20，例如第一個失效的中位秩值為（1-0.3）/(20+0.4)=0.0343;第二個失效的中位秩值為（2-0.3）/(20+0.4)=0.0833,等等。
3）在威布爾概率紙上依次對應畫點如下截圖3；
4）對這些點用線性擬合的方法畫出一條直線（圖上右下方實線）；
5）在威布爾概率紙右上方，經過縱坐標故障率0.623（這裡0.623取值如何得出？解答如下：F(t)=1-exp[-(t/η)^β]， 假設t=η,這F(η)=1-exp(-1)=1-0.367=0.623，參考如下截圖6)，畫出一條平行直線（圖上左上方虛線），與威布爾概率紙上方的交叉點即為β值，得出該例β值約為1.3.
6）由步驟5的解釋，經過縱坐標0.623畫一條平行於X軸的直線，與擬合直線的交叉點即為η的取值，得出該例η值約為900.
解題方法2-Excel擬合計算法；
1）這裡第一步還是先寫出故障概率函數如下：
F(t)=1-exp[-(t/η)^β]--公式1；
2）將公式1轉為包含（X,Y關係）的線性方程，依次推導過程如下，可參考如下第一張截圖；
F(t)=1-exp[-(t/η)^β]，
1-F(t)=exp[-(t/η)^β]；
1/(1-F(t))=exp[(t/η)^β]；
Ln[1/(1-F(t))]=(t/η)^β;
Ln{Ln[1/(1-F(t))]}=Ln[(t/η)^β];
Ln{Ln[1/(1-F(t))]}=β[Ln(t)-Ln(η)];----公式3
假設Ln{Ln[1/(1-F(t))]}=Y, Ln(t)=X,則公式3可轉為：Y=βX-βLn(η)----公式4；
3）將失效時間70, 128, ...955依次從小到大排序,見如下第二張截圖B列；
4）通過第一種方法中的中位秩值計算法：Median Rank rj=(j-0.3)/(N+0.4)，依次得出F(t)的值為0.0343,0.0833，....0.6716.見如下第二張截圖C列;
5）用Excel依次計算出Y以及X的值，見如下第二張截圖F列和G列；
6）在Excel中對如下第二張截圖F列和G列的數值進行線性擬合，線性擬合步驟入下:
1: 如下截圖3,選中X,Y對應區域數據,插入圖表X,Y(Scatter)，接下一步；
2: 如下截圖4,對X，Y軸坐標對應坐標點進行賦值，接下一步；
3: 如下截圖5,得出X，Y坐標軸上的散點圖，接下一步；
4: 如下截圖6，選中散點進行線性擬合，接下一步；
5: 如下截圖7，得出擬合直線，顯示線性方程Y=1.2818X-8.7644。
7）由上線性方程Y=1.2818X-8.7644，得出β=1.2818；βLn(η)=8.7644；
8）算出η=exp{8.7644/β)=exp{8.7644/1.2818)=932.22
順便拓展下：1)經常聽說風扇的L10壽命,為何MTTF=7*L10？：
L10為測試有10%的的不良率的產品壽命，通常風扇失效模型採用威布爾分布，則F(t)=0.1，F(t)=1-exp[-(t/η)^β]=0.1，
則exp[-(t/η)^β]=0.9，t=L10,η為尺度參數，也可以表述成特徵壽命，
exp[(L10/η)^β]=1/0.9=1.111;----公式5；
MTTF為產品壽命期望值為63.2%不良時對應的預期時間，由以上分析，可設η=MTTF（這裡未找到出處....）
則(L10/MTTF)^β=Ln1.111=0.10536;
這裡MTTF與L10的關係為與β相關的值，而不是簡單寫成7，當然如果風扇廠商有多年數據統計，可能得出β值，這裡發現只有當β=1.155時，才約為7倍關係。如果有不同推導方式的朋友可以分享下~~
2）當產品壽命服從威布爾分布時MTTF=ηΓ(1/β+1)----公式6；這裡Γ為伽馬函數（參考如下截圖）；但這裡在Excel中用什麼函數計算呢？
答案：Excel中未提供直接計算伽馬函數的公式，但提供了GAMMALN函數，它給出了伽馬函數的自然對數，因此可以通過e的冪函數計算，為GAMMA(X)=EXP(GAMMLN(X))；
這裡可以舉個特例，當β取值為1時，Γ(1/1+1)=1，可自行到Excel中計算。
寫到這裡發現第一個問題與第二個問題應該是關聯的，應該可以通過第二個問題反推出MTTF與L10的關係：
例如由公式6可得---η=MTTF/Γ(1/β+1)----公式7;
將公式7代入公式5，得exp{L10/[MTTF/Γ(1/β+1)]}^β=1/0.9=1.111----公式8；
由公式8得{L10/[MTTF/Γ(1/β+1)]}^β=Ln(1/0.9);----公式9；
公式9才是真正能反應MTTF與L10的關係，與β相關。
個人筆記，歡迎交流~~