第152期:三面角公式及其應用

2021-01-21 兵哥學數學

三面角公式及其應用:

三面角是立體幾何的基本概念之一,是組成多面體的重要元素。與平面幾何中有關三角形的正、餘弦定理類似,有關三面角的正、餘弦定理是解三面角的重要依據。熟練掌握解三面角的方法,可以較大地提高立體幾何的解題能力。


先來欣賞一下咱們公眾號的傳統節目,看名言名句


1、上帝創造了整數,所有其餘的數都是人造的。——克隆內克

2、數學發明創造的動力不是推理,而是想像力的發揮。——德摩

3、非數學歸納法在數學的研究中,起著不可缺少的作用。——舒爾

4、純數學這門科學在其現代發展階段,可以說是人類精神之最具獨創性的創造。——懷德海

5、無限!再也沒有其他問題如此深刻地打動過人類的心靈。——希爾伯特

6、發現每一個新的群體在形式上都是數學的,因為我們不可能有其他的指導。——達爾文

7、給我五個係數,我將畫出一頭大象;給我六個係數,大象將會搖動尾巴。——柯西

8、我們能夠期待,隨著教育與娛樂的發展,將有更多的人欣賞音樂與繪畫。但是,能夠真正欣賞數學的人數是很少的。——貝爾斯

9、觀察可能導致發現,觀察將揭示某種規則、模式或定律。——波利亞

10、多數的數學創造是直覺的結果,對事實多少有點兒直接的知覺或快速的理解,而與任何冗長的或形式的推理過程無關。—— 盧卡斯(William F.Lucas)

11、數學不可比擬的永久性和萬能性及他對時間和文化背景的獨立性是其本質的直接後果。——埃博

12、我曾聽到有人說我是數學的反對者,是數學的敵人,但沒有人比我更尊重數學,因為它完成了我不曾得到其成就的業績。――哥德

13、數學的本質在於它的自由。――康託爾


0、什麼是三面角?: 

有公共端點且不共面的三條射線以及相鄰兩射線間的平面部分所組成的圖形叫三面角。 

①點 S 為三面角 S—ABC 的頂點。 

②射線 SA、SB、SC 為三面角 S—ABC 的三條稜。

③ 三條稜它們所對的∠BSC、∠CSA、∠ASB 為三面角 S—ABC 的三個面角。通常可用 a、b、c 表示。 

④ 以 SA、SB、SC 為稜的二面角 B—SA—C、C—SB—A、A—SC—B 可用 A、B、C 來表示。 

⑤ 以 SA 為稜的二面角 B—SA—C 所對的面角為:∠BSC以 SB 為稜的二面角 C—SB—A 所對的面角為:∠CSA以 SC 為稜的二面角 A—SC—B 所對的面角為:∠ASB

一、三面角正弦定理:

三面角中面角的正弦的比等於所對二面角的正弦的比即: 

二、三面角餘弦定理: 

第一餘弦定理:

三面角一個面角的餘弦等於其他兩個面角的餘弦的乘積加上它們的正弦及它們所夾二面角的連乘積。 

備註:

「邊、角、邊」解三面角型,可採用第一餘弦定理。第二餘弦定理:三面角中任一二面角的餘弦等於其餘兩個二面角的餘弦乘積的相反數加上此兩個二面角的正弦及其所夾面角的餘弦的連乘積。

備註:「角、邊、角」解三面角型,可採用第二餘弦定理。 

四、相關應用:

注意:

三面角的三個面角之和不一定等於 180°,因此不能誤用解平面幾何中三角形時三內角之和為 180°來求第三個面角,本題中的面角 C 顯然大於 45°。由此可知,儘管三面角與三角形有許多類似之處,但它們之間又有許多完全不同的性質。例如正弦定理,三角形的正弦定理中邊與其對應角的正弦的比值除相等外,還等於常量——此三角形外接圓直徑。而三面角中面角正弦與其對應二面角正弦之比只是相等,但不等於常量。至於餘弦定理,三面角的餘弦定理有兩類更是有別於三角形的。

練習:

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