掌上微課堂|「圓」來如此之圓內接四邊形

在同圓內，四邊形的四個頂點均在同一個圓上的四邊形叫做圓內接四邊形。

圓的內接四邊形的性質及判定在平面幾何中起著非常重要的作用：

1. 通過圓快速得到圓中四邊形對角及外角與內對角的關係；

2. 通過角的關係，得到一個圓，進而得到另外的圓中角的關係.

既然有如此重要的作用，現在我們開始系統學習一下有關圓內接四邊形的性質吧。

知識點1圓的內接多邊形

如果多邊形的所有頂點都在一個圓上，那麼這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做多邊形的外接圓.

針對這一概念，這裡或許你有很多疑問：

（1）三角形都有外接圓嗎？

老師回答你，三角形三邊垂直平分線交於一點，這點到三個頂點距離相等，這點叫做三角形外接圓的圓心.三角形一定有外接圓.（不共線的三點確定一個圓）

（2）一般地，任意四邊形都有外接圓嗎？

老師回答你，不一定，和三角形一樣，四邊形如果有外接圓，則要求四邊形的四條邊的垂直平分線交於一點.而四邊形的四邊的垂直平分線不一定交於一點.如平行四邊形.

（3）任意矩形是否都有外接圓?

老師回答你，矩形的對角線的交點到四個頂點的距離相等.所以矩形一定有外接圓. 圓內接四邊形的特例有矩形、正方形、等腰梯形。

知識點2 性質定理

圓的內接四邊形性質定理1

圓的內接四邊形對角互補.

下面給出性質定理1的證明：

已知：四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形．求證：∠ABC+∠ADC=180°．（用兩種方法）

【解答】證法1：連接OA，OC，

∵∠B=1/2∠1，∠D=1/2∠2，

∴∠B+∠D=1/2（∠1+∠2）=1/2×360°=180°；

證法2：如圖2，連接CA，BD，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠ADC=∠1+∠3=∠2+∠4，

∴∠ADC+∠ABC=∠2+∠4+∠ABC=180°．

下面我們一起來看看它們用途吧。

例1．（2018東海縣二模）四邊形ABCD內接於⊙O，則∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　）

A．1：2：3：4

B．1：3：2：4

C．1：4：2：3

D．1：2：4：3

【解析】利用圓內接四邊形的對角互補判斷即可．

∵四邊形ABCD內接於⊙O，

∴∠A+∠C=180°=∠B+∠D，故選：D．

變式1．（2018春思明區校級月考）四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，且∠A：∠B：∠C=2：1：4，則∠D=_____度．

【解析】根據圓內接四邊形的對角互補列出方程，解方程即可．

設∠A、∠B、∠C分別為2x、x、4x，

則2x+4x=180°，

解得，x=30°，則∠B=30°，

∴∠D=180°﹣∠B=150°，

故答案為：150．

變式2．（2018秋銅山區校級月考）圓內接四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=3：5：6：m，

則m=______，∠D=_______．

【解析】根據圓的內接四邊形對角互補的性質即可得出結論．

∵圓內接四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=3：5：6：m，

∵3+6=5+m，解得m=4．

設∠B=5x，則∠D=4x，

∵∠B+∠D=180°，即5x+4x=180°，解得x=20°，

∴∠D=4x=80°．

故答案為：4，80°．

性質1理解及應用還可以通過如下視頻加以理解鞏固。

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圓的內接四邊形性質定理2

圓內接四邊形的任意一個外角等於它的內對角（就是和它相鄰的內角的對角）

例2．（2018林州市一模）如圖，四邊形ABCE內接於⊙O，∠DCE=50°，則∠BOE=（　　）

A．100° B．50°

C．70° D．130°

【解析】根據圓內接四邊形的任意一個外角等於它的內對角求出∠A，根據圓周角定理計算即可．

∵四邊形ABCE內接於⊙O，

∴∠A=∠DCE=50°，

由圓周角定理可得，∠BOE=2∠A=100°，

故選：A．

變式．（2017秋嵊州市期末）如圖，四邊形ABCD內接於⊙O，點E在AB的延長線上，弧DA=弧DC，∠CBE=50°，則∠DAC的大小為（　　）

A．100° B．50°

C．130° D．65°

【解析】根據圓內接四邊形的性質得到∠D=∠CBE=50°，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算即可．

∵四邊形ABCD內接於⊙O，

∴∠D=∠CBE=50°，

∵弧DA=弧DC，∴DA=DC，

∴∠DAC=∠DCA=(180°-50°)/2=65°，故選：D．

知識點3 圓的內接四邊形的判定

判定定理1：如果一個四邊形的對角互補，那麼這個四邊形的四個頂點四點在同一個圓周上（簡稱四點共圓）.

解析：由於不在同一直線上的三個點確定一個圓，如圖，設A，B，C三個點可確定一個圓⊙O，

⊙O與點D有且只有三種位置關係：

（1）點在圓外；（2）點在圓內；（3）點在圓上.

（1）當點在圓O外時,設E是AD與圓周的交點，連接EC，

則有∠B+∠AEC=180°,又∠B+∠D=180°，則∠AEC=∠D,而∠AEC是△ECD的一個外角，

∠AEC＞∠D，矛盾，所以假設不成立，D不能在圓外.

（2）當點在圓O內的時，如圖，延長AD交圓周於E，連接CE，

則∠B+∠E=180°，又已知∠B+∠D=180°，∴∠ADC=∠E, ∠ADC是△DCE的一個外角，

∠ADC＞∠E，矛盾.假設不成立，D不能在圓內.

綜上所述，點D只能在圓周上，即A、B、C、D在同一個圓周上（簡稱四點共圓）

例3．如圖，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動（點C、D與點A、B不重合），M是CD的中點，過點C作CP⊥AB於點P，若CD=3，AB=8，PM=l，則l的最大值是______．

【分析】求出C，M，O，P，四點共圓，連接PM，則PM為⊙E的一條弦，當PM為直徑時PM最大，所以PM=CO=4時PM最大．

【解答】連接CO，MO，

∵∠CPO=∠CMO=90°，∴∠CPO+∠CMO=180°，

∴C，M，O，P，四點共圓，且CO為直徑（E為圓心），

連接PM，則PM為⊙E的一條弦，當PM為直徑時PM最大，所以PM=CO=4時PM最大．即PMmax=4．

【點評】本題考查了矩形的判定和性質，垂徑定理，圓內接四邊形性質的應用，關鍵是找出符合條件的CD的位置，題目比較好，但是有一定的難度．

例4．如圖，⊙O的半徑為2，OA，OB是⊙O的半徑，點P是弧AB上任意一點，PE⊥OA於E，PF⊥OB於F，則EF的最大值為______．

【分析】延長PE、PF分別交圓於G、H，根據垂徑定理得到PE=EG，PF=FH，得到EF=1/2GH，根據圓的最長的弦是直徑解答即可．

【解答】解法1：延長PE、PF分別交圓於G、H，

∵PE⊥OA、PF⊥OB，

∴PE=EG，PF=FH

∴EF是△PGH的中位線

∴EF=1/2GH

∵GH是⊙O的弦

∴GH的最大值為2OA=2×2=4，

∴EF的最大值為×4=2．

故答案為：2．

解法2：∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠PEO+∠PFO=180°，

∴P，E，O，F，四點共圓，且PO為直徑（E為圓心），

容易得到EF的最大值為直徑時取最大值，故答案為：2．

沒有比較就沒有傷害，以後我們可以嘗試運用四點共圓求解問題。四點共圓是平面幾何中重要的知識點，用好四點共圓，可以快速發現幾何題目存在的圓有關的性質.作為四點共圓的第一個判定定理，其證明方法巧妙，把反證法用得淋漓盡致，可作為經典.

推論：如果四邊形一個外角等於它內角的對角，那麼這個四邊形的四個頂點共圓

練習，牛刀小試：

1．（2018邵陽中考題）如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠BCD=120°，則∠BOD的大小是（　　）

A．80° B．120°

C．100° D．90°

2．（2018秋崇川區校級月考）如圖，⊙O的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交於點E、F．

（1）若∠E=∠F，求證：∠ADC=∠ABC；

（2）若∠E=∠F=40°，求∠A的度數；

（3）若∠E=30°，∠F=40°，求∠A的度數．

【練習答案或提示】

1.B．

2. 【提示】（1）根據外角的性質即可得到結論；

（2）根據圓內接四邊形的性質和等量代換即可求得結果；

（3）連結EF，如圖，根據圓內接四邊形的性質得∠ECD=∠A，再根據三角形外角性質得∠ECD=∠CEF+∠CFE，則∠A=∠CEF+∠CFE，然後根據三角形內角和定理有∠A+∠CEF+∠CFE+∠E+∠F=180°，解方程即可．

當然還有其他一些方法，以後將不斷學習

1.四個頂點與某定點等距離，這個四邊形內接於一個圓。

2.一個外角等於它的內對角的四邊形內接於一個圓。

3.同底的兩個三角形，若另一頂點都在底的同旁，且頂角相等，則兩個三角形有公共的外接圓。