學習目標
1．經歷類比、作圖，了解不共線三個點確定一個圓及其作圖方法．
2．知道三角形的外接圓、三角形外心、圓的內接三角形等概念．
重點：不在同一直線上的三個點確定一個圓的證明．
難點：過不共線三點作圓的作圖方法及對確定圓的唯一性的思考．
預習思考
閱讀教材內容，回答問題．
1.在平面內過一點可以作幾個圓？
2．經過兩點能作多少個圓呢？你發現這些圓的圓心有什麼特點？
3．經過A，B，C三點能不能作圓？當三個點不在同一條直線上，經過A，B，C三點可以作一個圓，如何作？試一試．
（經過一個已知點能作無數個圓。經過兩個已知點A、B能作無數個圓，經過兩個已知點A、B所作的圓的圓心都在線段AB的中垂線上。
三個點不在同一條直線上作一個圓步驟：(1)連接AB，BC；(2)分別作出線段AB，BC的垂直平分線，交於點O；(3)以點O為圓心，OA為半徑作圓，便可以作出經過A，B，C三點的圓）
經過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形。
如圖：⊙O是△ABC的外接圓， △ABC是⊙O的內接三角形，點O是△ABC的外心。
外心是△ABC三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等。
4.一個三角形的外接圓有幾個？一個圓的內接三角形有幾個？
5.已知下面三個三角形，分別作出它們的外接圓，它們外心的位置有怎樣的特點？
分別畫一個銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，再畫出它們的外接圓，觀察並敘述各三角形與它的外心的位置關係.
銳角三角形的外心位於三角形內.直角三角形的外心位於直角三角形斜邊中點.
鈍角三角形的外心位於三角形外.
關於圓的確定有關知識我們還可以通過如下視頻進行學習。
合作探究
例1．（2017秋鹽城期中）如圖，點A、B、C在同一條直線上，點D在直線AB外，過這四個點中的任意3個，能畫的圓有（ ）
A．1 個 B．2個
C．3個 D．4 個
【解析】根據不在同一直線上的三點確定一個圓解答．
∵點A、B、C在同一條直線上，
∴經過點A、B、D，或點A、C、D，或點B、C、D分別能畫一個圓，
故選：C．
變式1.平面直角坐標系內的三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） _____ 確定一個圓（填「能」或「不能」）．
【解析】根據三個點的坐標特徵得到它們不共線，於是根據確定圓的條件可判斷它們能確定一個圓．
∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x軸，
而點A（1，0）在x軸上，
∴點A、B、C不共線，
∴三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能確定一個圓．
故答案為：能．
變式2.當點A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三點可以確定一個圓時，m，n需要滿足的條件 ________．
【解析】能確定一個圓就是不在同一直線上，首先確定直線AB的解析式，然後點C不滿足求得的直線即可．
設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴ k+b=2, 3k+b=-3,
解得：k=﹣2.5 ，b=4.5 ，
∴直線AB的解析式為y=﹣2.5x + 4.5，
∵點A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三點可以確定一個圓時，
∴點C不在直線AB上，
∴5m+2n≠9，
故答案為：5m+2n≠9．
變式3．（2018秋大豐區校級月考）已知直線l：y=x﹣4，點A（1，0），點B（0，2），設點P為直線l上一動點，當點P的坐標為_______時，過P、A、B不能作出一個圓．
【解析】由而在同一直線上的三個點不能畫一個圓可知，當P，A，B三點共線時，過P，A，B三點不能作出一個圓．為此，先利用待定係數法求出直線AB的解析式，再與y=x﹣4聯立，兩直線的交點坐標即為所求．
設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（1，0），點B（0，2），
∴k+b=0,b=2.，
解得k=-2,b=2，
∴y=﹣2x+2．
解方程組y=x-4,y=-2x+2，得x=2,y=-2，
∴當P的坐標為（2，﹣2）時，過P，A，B三點不能作出一個圓．
故答案為（2，﹣2）
例2. 如圖，△ABC外接圓的圓心坐標是__________
【解析】作線段BC的垂直平分線，作AB的垂直平分線，
兩條線相交於點O，所以O的坐標為（4，6）
故答案為：（4，6）
變式（2017秋洪澤區期末）如圖△ABC是坐標紙上的格點三角形，試寫出△ABC外接圓的圓心坐標_______-．
【解析】根據C、B的坐標求出D的縱坐標，設D（a，2），根據DA=DC和勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
由圖象可知B（1，4），C（1，0），
根據△ABC的外接圓的定義，圓心的縱坐標是y=2，
設D（a，2），
根據勾股定理得：DA=DC
解得：a=5，
∴D（5，2）．
故答案為：（5，2）．
例3．（2017秋海港區期末）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，⊙O的半徑為4，AB=4，則∠C為（ ）
A．60° B．30°
C．45° D．90°
【解析】連接AO和BO，
∵⊙O是△ABC的外接圓，⊙O的半徑為4，AB=4，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=1/2∠AOB=1/2×60°=30°，
故選：B．
變式1．（2018秋洪山區期中）已知△ABC中，BC=6，∠A=120°，則△ABC外接圓的半徑為_______．
【解析】連接OA交BC於D，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠AOC=∠BOA，
∵OB=OC，
∴BD=DC，OA⊥BC，
∴由垂徑定理得：BD=DC=3，
∠OAC=1/2∠BAC=1/2×120°=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠DCO=90°﹣60°=30°, ∴OC=2OD，
變式2．已知圓內接三角形ABC中，AB＝AC，圓心O到BC的距離為3 cm，圓的半徑為7 cm，則腰AB的長是__________ cm.
練習
1．（2017寧夏）如圖，點 A，B，C均在6×6的正方形網格格點上，過A，B，C三點的外接圓除經過A，B，C三點外還能經過的格點數為______．
2．（2018秋海州區校級月考）如圖，網格紙中每個小正方形的邊長為1，一段圓弧經過格點，點O為坐標原點．
（1）該圖中弧所在圓的圓心D的坐標為______；．
（2）根據（1）中的條件填空：
①圓D的半徑=______（結果保留根號）；
②點（7，0）在圓D_______（填「上」、「內」或「外」）；
③∠ADC的度數為________．
總結：
1.定理：不在同一直線上的三個點確定一個圓.定理中「不在同一直線」這個條件不可忽略，「確定」一詞應理解為「有且只有」 .
2.通過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心為三角形的外心，這個三角形叫圓的內接三角形.只要三角形確定，那麼它的外心和外接圓半徑也隨之確定了.分析作圓的方法，實質是設法找圓心.過已知點作圓的問題，就是對圓心和半徑的探討.
反思： 任意三角形都有一個外接圓，三角形的外心一定在三角形內嗎？
三角形的外心不一定在三角形內．銳角三角形的外心在三角形內，直角三角形的外心在三角形的斜邊上，鈍角三角形的外心在三角形外．