動點型的中考壓軸題,學生普遍感到害怕。因為此類題目綜合性強,所用數學知識多,難度大。而解題過程中常常伴隨著數形結合,分類討論,相似計算等解題技巧,能力要求高,是學霸高手們的必爭之地。解這類問題,最好需要鉛筆+草稿紙,把分類的「效果圖」草圖計較準確地畫出來。
且看這樣一道題目:如圖,A(-5,0),B(-3,0),點C在y軸的正半軸上,∠CBO=45°,CD∥AB.∠CDA=90°.點P從點Q(4,0)出發,沿x軸向左以每秒1個單位長度的速度運動,運動時時間t秒.(1)求點C的坐標;(2)當∠BCP=15°時,求t的值;
(3)以點P為圓心,PC為半徑的⊙P隨點P的運動而變化,當⊙P與四邊形ABCD的邊(或邊所在的直線)相切時,求t的值.
先來「感知」這道題:本題是動點問題,考察切線的性質,坐標與圖形性質,矩形的性質,勾股定理,銳角三角函數定義,特殊角的三角函數值等內容。先來整體分析一下:
(1)由∠CBO=45°,∠BOC為直角,得到△BOC為等腰直角三角形,又OB=3,利用等腰直角三角形AOB的性質知OC=OB=3,然後由點C在y軸的正半軸可以確定點C的坐標。
(2)分點P在點B右側和點P在點B左側兩種情況討論即可。
(3)當⊙P與四邊形ABCD的邊(或邊所在的直線)相切時,分三種情況討論:①當⊙P與BC邊相切時,②當⊙P與CD相切於點C時,③當⊙P與CD相切時。
具體解析:
解:(1)∵∠BCO=∠CBO=45°,∴OC=OB=3。又∵點C在y軸的正半軸上,∴點C的坐標為(0,3)。
(2)分兩種情況考慮:
①當點P在點B右側時,如圖2,
若∠BCP=15°,得∠PCO=30°,故PO=COtan30°=√3。此時t=4+√3
②當點P在點B左側時,如圖3,
由∠BCP=15°,得∠PCO=60°,故OP=COtan60°=3√3。此時,t=4+3√3
∴t的值為4+√3或4+3√3
(3)由題意知,若⊙P與四邊形ABCD的邊相切時,
有以下三種情況:
①當⊙P與BC相切於點C時,有∠BCP=90°,從而∠OCP=45°,得到OP=3,此時t=1。
②當⊙P與CD相切於點C時,有PC⊥CD,即點P與點O重合,此時t=4。
③當⊙P與AD相切時,由題意,得∠DAO=90°,∴點A為切點,如圖4,
PC=PA=(9-t),PO2=(t-4)。於是(9-t)= PO2=(t-4),
即81-18t+t=t-8t+16+9,解的,t=5.6。
綜上所述,t的值為1或4或5.6。
解這類動點問題,請同學們最好使用鉛筆+草稿紙,把分類的「效果圖」簡要而準確地畫出來「幾種情況就畫幾個圖」「當做幾個小題來解」。