用泰勒公式求不定式極限(二)——競賽試題分析

2020-11-27 騰訊網

練習題

例：計算極限：

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使用帶皮亞諾餘項的麥克勞林公式，計算函數未定式極限的基本思路與過程回顧：

(1)基本思想：或者說理論基礎，即為帶皮亞諾餘項的麥克勞林公式。將構成函數極限式的、複雜的函數用帶皮亞諾餘項的麥克勞林公式去替換，簡化極限計算過程，探索可能的求極限方法。

(2)極限類型：使用帶皮亞諾餘項的麥克勞林公式一般適用於求x0的函數的極限。如果我們的目標是求數列的極限，則應該先藉助海涅定理，將求數列極限的問題轉換為函數極限的問題，並將變量的變化過程轉換為x0。

(3)基本過程：複雜的函數簡單化，即為了將複雜的函數整體、或者部分函數用帶皮亞諾餘項的麥克勞林公式描述，儘可能地通過變換函數描述形式，將函數描述成我們熟悉的、已知麥克勞林公式的函數來描述。

(4)展開階數：麥克勞林公式的階數一般取為函數中包含的其他冪函數的最高次數；或者為最高次數加1。

(5)基本計算公式：

●帶皮亞諾餘項的麥克勞林公式；

●當x0時，同階無窮小的運算法則；

●為了最終求極限，過程中可能還需要用到一些求極限的基本公式，比如等價無窮小公式；洛必達法則求導公式；兩個重要的極限計算公式；四則運算法則計算公式；夾逼原理；函數的連續性，等等。

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