九年級上學期,三角形內切圓半徑的推導,與面積、周長相關

2021-01-12 勤十二談數學

數學中有不少公式，有些同學剛學習時死記硬背，但是過了一段時間後，有些不常用的公式根本就記不住。因此，在學習時，要記住這些公式是怎麼推導得到的。本篇文章主要介紹三角形內切圓半徑的推導過程，三角形內切圓的半角與三角形的周長和面積相關。

我們首先要知道三角形的內心是如何確定的，三角形的內心是三個角角平分線的交點，內心到三角形三邊的距離相等，那麼怎麼得到一般三角形內切圓的半徑呢？

其實，我們可以藉助等面積法來解決，由內心的性質可以得到OD=OE=OF，△ABC可以分割成△OAB、△OBC和△OAC，那麼S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC，代入字母可以得到：AB×OD÷2+BC×OE÷2+AC×OF÷2=S，由於OD=OE=OF=r，那麼可以得到（AB+BC+AC）×r=2S。而AB+BC+AC是三角形的周長，可用C或l來表示，即s=1/2lr，那麼r=2s/l。這個公式中的字母與扇形的面積公式一樣，因此，可以通過記住扇形的面積公式來記住三角形內切圓的半徑公式。

當然，可以發現，推導過程也並沒有很繁瑣，利用了內心的性質和等面積法即可得到。

這是對所有的三角形都適用的公式，無論這個三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，都可以利用該公式求出三角形內切圓的半徑。

直角三角形比較特殊，那麼有沒有其它計算公式呢？

首先，直角三角形內切圓的半徑也可以藉助等面積法，面積可以用兩直角邊的乘積的一半表示，因此r=ab/（a+b+c），a、b為直角邊長，c為斜邊長。

接著，我們藉助切線長定理再來研究下三角形內切圓的半徑。首先，由內心的性質可以得到OD=OE=OF，由切線可知∠OEC=∠OFC=90°，那麼可以得到四邊形OECF為正方形。由切線長定理可以得到CE=CF，AE=AD，BE=BD，設CE=CF=r，那麼AE=AD=b-r，BD=BF=a-r，由於AB=AD+BD，那麼a-r+b-r=c，解得：r=（a+b-c）/2.

因此，直角三角形內切圓的半徑有兩個，第一個就是內切圓的半徑等於三角形面積的兩倍與周長的比（商），第二個就是內切圓的半徑等於兩直角邊的和與斜邊差的一半。

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