高中:問△F1AB內切圓面積的最大值?該面積和韋達定理的紐帶須知

2020-12-05 玉w頭說教育

原題

原題：已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F2，以F2為圓心、過橢圓左頂點M的圓與直線3x－4y+12=0相切於點N，且滿足向量MF1=向量F1F2/2.

⑴求橢圓C的標準方程。

⑵過橢圓C右焦點F2的直線L與橢圓C交於不同的A，B兩點，問△F1AB內切圓的面積是否有最大值？若有，求出最大值；若沒有，說明理由。

圖一

該題分為兩個問題，第一問是求解橢圓的標準方程，也是第二問中使用韋達定理必要的條件。

而第二問是橢圓和直線相交的題，一般這樣的題都是要結合韋達定理來解題，但是該題的問題的是「△F1AB內切圓的面積是否有最大值？」，這就需要將該三角形的內切圓的面積和韋達定理聯繫起來。

而建立起三角形F1AB的內切圓的面積和韋達定理的紐帶就是該三角形的面積。

第一問

第一問是要求橢圓的標準方程。

要想求出該橢圓的標準方程，需要藉助給出的向量之間的關係得出a和c的關係，再根據點到直線的距離公式和圓的性質得出關係a和c的方程，從而解出a和c的值，再根據橢圓中參數之間的關係得出b的值，即可求出該橢圓的標準方程。

具體做法：

根據題意作出圖形有

圖二

因為向量MF1=向量F1F2/2，所以有a－c=c，所以a=2c①。

根據點到直線距離公式得出焦點F2到直線3x－4y+12=0距離為F2N=|3c+12|/√(3^2+4^2)=|3c+12|/5.

又因為N點是圓F2和直線3x－4y+12=0的切點，所以F2N等於圓F2的半徑。

又因為圓F2過橢圓左頂點M，所以圓F2的半徑R=c+a。

所以有|3c+12|/5=c+a，c>0，所以(3c+12)/5=c+a，整理得到5a+2c=12②.

由①②聯立解得到a=2,c=1，又因為a^2=b^2+c^2，所以b=√3.

所以該橢圓的標準方程為x^2/4+y^2/3=1.

第二問

先建立△F1AB 內切圓的面積和該三角形面積的聯繫，然後再建立該三角形面積和韋達定理的聯繫，通過韋達定理得出三角形F1AB面積的最大值，從而得出△F1AB 內切圓的面積的最大值。

圖三

⑴建立△F1AB 內切圓的面積和該三角形面積的聯繫。

△F1AB 內切圓的面積和該三角形面積之間的聯繫是三角形F1AB內切圓的半徑r。要想△F1AB 內切圓的面積最大則只需要該三角形內切圓半徑最大即可，而該三角形的面積也可以用該三角形內切圓半徑r來表示，即S△F1AB=1/2·△F1AB周長·r。

因為△F1AB的周長為F1A+AB+F1B=BF1+BF2+AF1+AF2=2a+2a=4a=8，即該△F1AB的周長是固定的，所以根據公式S△F1AB=1/2·△F1AB周長·r，則有該三角形的面積越大，則該三角形內切圓的半徑就越大。

⑵建立△F1AB面積和韋達定理的聯繫。

如果設A(x1,y1),B(x2,y2)，該三角形的面積還可以表示成S△F1AB=1/2·|F1F2|·|y1－y2|，因為|F1F2|的長度是定值，所以該三角形的面積取決於兩點的縱坐標之差的絕對值，根據這兩點縱坐標之差的絕對值就可以將該三角形的面積與韋達定理建立起聯繫。

根據題意，直線L的斜率不為零，但是該斜率可能不存在，又因為該直線L過橢圓的右焦點，所以可設直線L的方程為x=my+1。

將該直線L方程x=my+1與橢圓x^2/4+y^2/3=1聯立得到(3m^2+4)y^2+6my－9=0，此時判別式等於(6m)^2+36(3m^2+4)是大於0恆成立的。

根據韋達定理有y1+y2=－6m/(3m^2+4)，y1·y2=－9/(3m^2+4)，所以有|y1－y2|=√[(y1+y2)^2－4y1·y2]=12√(m^2+1)/(3m^2+4)。

令t=√(m^2+1)，則t≥1，所以S△F1AB=12t/(3t^2+1)=4/(t+1/3t)。

⑶求出三角形F1AB面積的最大值。

設f(t)=4/(t+1/3t)，則當t≥1時，一次導數f＇(x)=1－1/3t^2>0恆成立，所以f(t)=4/(t+1/3t)在t≥1上是單調遞增函數。

所以該函數f(t)有最小值，即f(t)min=f(1)=4/3.

所以三角形F1AB的面積有最大值，即S△F1AB=4/f(1)=3，此時t=1，即m=0，所以該直線L的方程為x=1.

⑷得出△F1AB 內切圓的面積的最大值。

因為S△F1AB=3，根據S△F1AB=1/2·△F1AB周長·r，所以r=3/4。

根據三角形F1AB內切圓面積公式S=π·r^2得出該三角形內切圓的面積最大值為9π/16.

所以△F1AB內切圓的面積有最大值，即且9π/16.

總結

解決這道題需要將韋達定理和要求的三角形F1AB的內切圓的面積聯繫起來，這裡需要藉助該三角形面積的不同公式的使用。

三角形的面積可以用三角形的底和高的乘積表示，也可以用三角形的周長和該三角形內切圓半徑乘積來表示，又可以用兩點坐標之差的絕對值來表示。

該題就是根據三角形面積的不同表示建立起的聯繫。

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