原題
原題：在平面直角坐標系xOy中，
①已知點A(√3,0)，直線L：x=4√3/3，動點P滿足到點A的距離與到直線L的距離之比為√3/2.
②已知圓C的方程為x^2+y^2=4，直線L為圓C的切線，記點A(√3,0)，B(－√3,0)到直線L的距離分別為d1，d2，動點P滿足|PA|=d1，|PB|=d2.
③點S，T分別在x軸上，y 軸上運動，且|ST|=3，動點P滿足向量OP=2/3向量OS+1/3向量OT。
⑴在①，②，③這三個條件中任選一個，求動點P的軌跡方程；
註：如果選項多個條件分別解答，按第一個解答計分。
⑵記⑴中的軌跡為E，經過點D(1,0)的直線L＇交E於M，N兩點，若線段MN的垂直平分線與y軸相交於點Q，求點Q縱坐標的取值範圍。
這道題的第一問時比較簡單的，只要在考試中在①，②，③選擇一個你會的解答出該P點的軌跡即可。
但是在平時做題的過程中，我們是需要這三個①，②，③均會的，這就有點難度了。
這道題的第二問思路也不難，但是這裡需要我們注意的點很多，否則會出現很多的錯誤，使該得分的題就這樣失之交臂。
下面我們就在解題的過程中分別說明，在題中需要注意的事項。
第一問
第一問分別給出三個條件，接下來我們要分別說明每個條件的解法。
①該題只需要按照給出的已知列出方程即可。
設P(x,y)，因為A（√3,0），根據兩點間距離公式有PA=√[(x－√3)^2+y^2]，又因為點P到直線L：x=4√3/3，所以點P到直線L的距離為d=|x－4√3/3|。
因為動點P滿足到點A的距離與到直線L的距離之比為√3/2，所以有PA/d=√[(x－√3)^2+y^2]/|x－4√3/3|=√3/2，整理得到x^2/4+y^2=1，所以動點P的軌跡方程為x^2/4+y^2=1。
②該題只需要求出d1+d2是一個定值，且滿足點P到點A的距離加上點P到點B的距離大於AB之間的距離，且P點是動點，則該P點滿足橢圓定義，根據橢圓定義就可得出該P點的軌跡方程。
因為直線L為圓C的切線，記點A(√3,0)，B(－√3,0)到直線L的距離分別為d1，d2，設點B到直線L的距離為BB1，點A到直線L的距離為AA1，圓心C到直線L的距離為CC1，則有AA1=d1,BB1=d2，CC1=R(R是圓C的半徑)。因為圓心的方程為x^2+y^2=4，所以圓C的半徑為2，即CC1=2.
根據AA1，BB1，CC1都是到直線L的距離，即它們都是與直線L垂直的，即這三條直線平行。
因為A點和B點關於C點對稱，所以CC1是直角梯形AA1B1B的中線，所以有AA1+BB1=2CC1=4，即d1+d2=4。
又因為動點P滿足|PA|=d1，|PB|=d2，所以|PA|+|PB|=4>|AB|=2√3，所以點P的軌跡符合橢圓的定義，則有2a=4，a=2，c=√3。
根據橢圓方程參數的關係有a^2=b^2+c^2，所以b=1，所以該P點的軌跡方程為x^2/4+y^2=1.
③是點S，T分別在x軸上，y 軸上運動，且|ST|=3，動點P滿足向量OP=2/3向量OS+1/3向量OT，求P點的軌跡方程。
因為點S，T分別在x軸上，y 軸上運動，所以可以設S(m,0)，T(0,n)，則有|ST|=√(m^2+n^2)，又因為|ST|=3，則有√(m^2+n^2)=3，所以m^2+n^2=9。
設P(x,y)，所以向量OP=(x,y)，且有向量OS=(m,0)，OT=（0，n）因為動點P滿足向量OP=2/3向量OS+1/3向量OT，所以(x,y)=(2m/3,0）+(0，n/3)=(2m/3,n/3)，所以有x=2m/3，y=n/3，得到m=3x/2，n=3y。
將m=3x/2，n=3y代入m^2+n^2=9中，則有x^2/4+y^2=1。
第二問
第二問是根據第一問求出的P點的軌跡，與過定點的直線L＇相交於M,N兩點 ，求過線段MN的垂直平分線與y軸交點Q的縱坐標的取值範圍？
這裡需要注意的是直線MN有兩種情況，即直線MN與x軸垂直的情況和直線MN與x軸不垂直的情況，即直線MN斜率存在與不存在兩種。
如果沒有考慮直線MN斜率不存在的情況，是要扣分的。
第一步，說明當直線MN斜率不存在時，Q點縱坐標的值。
當直線MN與x軸垂直時，此時線段MN的垂直平分線是y軸，所以此時Q點的縱坐標為0。
第二步，直線MN的斜率存在時，Q點的縱坐標。
設直線MN的斜率為k，且該直線過點D(1,0)，所以直線MN的方程為y=k(x－1)。
因為點P的軌跡是一個橢圓E：x^2/4+y^2=1，則直線MN與橢圓E聯立方程有(1+4k^2)x^2－8k^2x+4(k^2－1)=0，判別式△=48k^2+16>0恆成立。
設M(x1,y1)，N(x2,y2)，根據韋達定理有x1+x2=8k^2/(1+4k^2)。
設線段MN的中點為G（x3,y3），則x3=(x1+x2)/2=4k^2/(1+4k^2)，y3=k(x3－1)=－k/(1+4k^2)。
因為MN的垂直平分線的斜率與直線MN互為負倒數，且過線段MN的中點，所以線段MN的垂直平分線的方程為y+k/(1+4k^2)=－1/k[x－4k^2/(1+4k^2)]。
因為Q點在y軸上，設Q（0,y0），所以令x=0，則有y0=3k/(1+4k^2)=3/(1/k+4k)。
此時要想求出Q點縱坐標y0的取值範圍，需要結合基本不等式。
但是這裡需要注意的是這裡使用的基本不等式的條件，即1/k和4k都應該是大於0的數，而這裡的k的值可能是大於0，也可能是小於0的數，所以這裡還需要分別說明k的情況，且確保使用這個基本不等式的正確性。
當k>0時，根據基本不等式有1/k+4k≥2√(1/k×4k)=4，若且唯若1/k=4k，即k=1/2時該不等式的等號成立。
所以0<1/(1/k+4k)≤1/4，所以0<3/(1/k+4k)≤3/4，即y0=3/(1/k+4k)的範圍為(0,3/4]。
當k<0時，則－1/k>0,－4k>0，所以－1/k－4k≥2√[(－1/k)×(－4k)]=4，若且唯若－1/k=－4k，即k=－1/2時該不等式等號成立，所以1/k+4k≤－4，所以y0=3/(1/k+4k)的取值範圍為[－3/4,0)。
綜上兩步得到y0的取值範圍為[－3/4,3/4]。
總結
該題的第二問，需要注意的是：
第一，要分別說明直線MN斜率的存在和不存在的情況；
第二，要注意使用基本不等式的條件，即在使用基本不等式a/b+b/a≥2時，a/b或者是b/a都應該是正數，否則不成立；
第三就是使用基本不等式時，要注意等號能否取到時的條件，否則是不正確的。
高中數學證不等式恆成立需知這些「媒介」不等式，不容小覷的內容
高中數學PM、PN關於x軸對稱等價啥才能與韋達定理結合？關鍵在它
求(NQ－MP)·S(k)取最大值時直線L方程？知使用韋達定理目的是關鍵
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高中：如題求△ODN面積最大值？直接基本不等式？錯，這樣做才正確