初中數學,如何用垂徑定理解決與圓有關的問題?學會方法很重要

2021-01-08 周老師數學課堂

大家好，歡迎走進周老師數學課堂，每天進步一點點，堅持帶來大改變。今天是2019年1月29日，分享的內容是如何用垂徑定理解決問題。

知識點清單

1.垂徑定理:垂直於弦的直徑平分弦，並且平分弦所對的劣弧、優弧。

2.垂徑定理的推論

⑴ 平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的劣弧或優弧。

⑵ 平分弦所對的一條弧的直徑垂直於弦並且平分弦所對的另一條弧。

⑶ 弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弦。

問題類型

1.有關線段計算的問題

例1.如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD於P，且P是半徑OB的中點，CD=6cm，則直徑AB的長是( ).

A.2√3B.3√2C.4√2D.4√3

解題思路提示

1、要求直徑AB的長，可先求出半徑的長，你有思路了嗎？

2、連接OC，則由垂徑定理易得CP=3cm，此時設圓的半徑為R，由於P是OB的中點，則OP=1/2R。

3、接下來在Rt△OPC中，利用勾股定理列出關於R的方程，進而求出R，問題就解答了！

解題步驟

解: 連接OC.∵AB丄CD於P，CD=6cm，∴CP=1/2CD=3cm.設圓的半徑為R，由於P是OB的中點，則OP=1/2R∵AB丄CD，OC=R，OP=3cm，∴R*2=(1/2R)*2+3*2，∴R=2√3cm，∴直徑AB的長為4√3cm.故選D.

2.有關角度計算的問題

例2.已知半徑為5的O中，弦AB=52,弦AC=5,則∠BAC的度數是( ).A.15°B.210°C.105°或15°D.210°或30°

解題思路提示

連接OC，OA，OB，根據已知可得到△OAC是等邊三角形，△OAB是等腰直角三角形，從而分兩種情況進行分析，不難求得∠BAC的度數。

解題步驟

解: 連接OC，OA，OB

∵OC=OA=AC=5∴△OAC是等邊三角形∴∠CAO=60°∵OA=OB=5，AB=5√2∴OA*2+OB*2=50=AB*2∴△OAB是等腰直角三角形。∴∠OAB=45°點C的位置有兩種情況：如圖，C不在弧AB上時：∠BAC=∠CAO+∠OAB=60°+45°=105°如圖，C在弧AB上時:∠BAC=∠CAO-∠OAB=60°-45°=15°故選C.

解題小結

上述例題是一類依據垂徑定理求解圓中角度的問題，通常我們解決此類問題時

⑴化歸為垂徑定理求解

⑵藉助定理「直角三角形中30°所對的直角邊等於斜邊的一半」的逆定理及等腰直角三角形的銳角為45°.

⑶分類討論思想的應用。

3 有關面積計算的問題

例3.如圖，已知AB是⊙O的弦，半OA=20cm，∠AOB=120°，求△AOB的面積。

解題思路提示

由垂徑定理可得∠AOC=1/2∠AOB=60°，AC=BC=1/2AB，再解直角三角形即可求得△AOB的高和AB的長，即可求得面積。

解題步驟

解: 過點O作OC丄AB於C，如下圖所示：∴∠AOC=1/2∠AOB=60°，AC=BC=1/2AB∴在Rt△AOC中，∠A=30°∴OC=1/2OA=10cm，AC=√OA*2-OC*2=√400-100=10√3(cm)∴AB=2AC=20√3cm∴△AOB的面積=1/2AB·OC=1/2×20√3×10=100√3(cm*2)

今天的分享就到這裡，用垂徑定理解決問題的類型還有很多，後續我會繼續分享，歡迎大家在評論區留下您的思路，讓我們共同討論，也許您的思路是最棒的。喜歡文章記得分享哦！註：圖片來源於網絡，如有侵權，請聯繫刪除。微專題：圓形面積的計算，學會圖形的轉化是關鍵初中數學，圓錐的側面積怎麼求？解題模板來幫忙

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