來源：本文刊發於《中國計量》雜誌2018年第７期
作者：天津市計量博物館 艾學璞 國家市場監督管理總局 鄭穎
天津市計量監督檢測科學研究院 馬寧 北京市計量檢測科學研究院 劉海鵬
研究史料不難看出，中國古代的角度計量，在相當長一段歷史時期處於「有角無度」的定性階段，所以那些涉及「平面度」「垂直度」等與角度定量分析有關的計量器具和測量方法，始終難以列入國家法定計量管理範疇。自古以來，「矩」作為角度計量器具，僅是「規圓矩方」之工具；而「用矩之道」作為算數之學的例題，被記載在中國古代算經之中。自《周髀》成書問世以來，已逾兩千多年，該書記載的「規圓矩方」的「用矩之道」等計量測量技藝，在社會生產領域始終在「百工」等各種製造技能中流傳。
一、關於「有角無度」
我們的先輩在認識客觀世界的實踐中，最早通過觀察太陽、月亮的變化，認識的幾何圖形是「圓、方、矩、角」———圓形、正方形、直角三角形、角至圓及圓至角的演化，發現了它們圍繞著「角」這一可計量的量，並且具有相互導出的科學關係。「沒有規矩不成方圓」說的就是這個演變規律。從現代科學的角度分析，我們祖先所認識的「圓」這一可計量的量，尚未達到以圓心角「劃角分度」的定量分析水平，而是沿著「平直求矩」的認識途徑，探索「圓出於方、方出於矩」的「有角無度」的計量方法。
二、「無度之角」源於「伸圓展方」「勾股共結一角」
《周髀算經》載：昔者周公問於商高曰，「竊聞乎大夫善數也，請問古者包羲(伏羲)立周天曆度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？」商高曰，「數之法，出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一，故折矩以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之外半其一矩，環而共盤得成三四五，兩矩共長二十有五是謂積矩。故禹之所以治天下者此數之所生也」。上述記載，正是中國古代對幾何量角度「有角無度」計量的詳細描述。
通常人們熟知的《周髀算經》，其實原為《周髀》，至唐朝李淳風奉勑注釋，列為中國古代十大算經之首，那時起才始稱《周髀算經》。李淳風注釋：商高曰，「數之法，出於圓方」時講到，「圓徑一而周三，方徑一而匝四，伸圓之周而為句，展方之匝而為股，共結一角，邪適弦五。此圓方邪徑相同之率，故曰數之法出於圓方者，天地之形陰陽之數。」此段注釋用圓的直徑為一，周長為三的測量結果，介紹了中國最古老的圓周率「徑一周三」；在此圓內做圓內接正方形，由「徑一」而引出正方形四條邊為「匝四」。通過「伸圓之周而為句和展方之匝而為股」遂使「方」「圓」與數通過圓的直徑為「一」聯繫在一起，「伸圓」與「展方」「共結一角」。這是出現在我國古代算經上講述的「角」的形成即「角」的概念。在其後，李淳風注釋：「以為句廣三，股修四，徑隅五」，講到「自然相應之率經直隅角也」即「伸圓」與「展方」「共結一角」此角為「直隅角」。
何為「直隅角」？我們的祖先在生產實踐中很早就發現「角」是一種可計量的量，並能區分出角的大小、確定角的量值。「伸圓」與「展方」「共結一角」就是中國古代數學、計量學發展進程中給「角」這一可計量的量進行的定義，同時也是以「伸圓」與「展方」「共結一角」為方法畫出一個特定「角」的圖形之統一方法。這種方法確定的「角」雖然是一個定量值，但尚達不到用數和量進行表徵、表述任意「角」的量的科學水平。從計量科學的定義出發，中國古代對「角」的認識，處在定性區別向定量分析發展的階段。從現代數學和計量學出發，中國古代對「角」的認識處在「有角無度」的水平———認識「角」的客觀存在，但尚未找到準確的「分角為度」的計量測量方法。
考證史料發現，世界上關於「分角為度」之「角度」的起源，流行的說法主要有：一是早在公元前3000年，生活在現伊拉克南部的古蘇美爾人計算太陽繞地球運行一周為360天，太陽的運行軌跡是一個圓，於是，人們把圓分為360個等份，這是最古老的圓心角為360的說法；二是公元前130年，古巴比倫人經過測量，得出春秋分日時日出至日落的運行軌跡恰等於180個太陽直徑的長度，遂定太陽繞地球一周為360個太陽的直徑，將太陽直徑作為間隔，每一個太陽直徑為一度，由此出現了「360度圓心角分角體系」。
三、中國古代不用「度」表示的角
很多史料表明，中國古人不用「度」表示「角」。歸納例舉在漢語語彙中表示「角」的字詞有：
1.「隅」(yú):角也、方角。物之方者皆有四隅。
2.「方」:與「圓」相對。四角都是直角的四邊形或六面都是直角的四邊形的立體。
3.「觚」(gū)，其解：(1)為古代酒器。《周禮》中說：爵一升，觚二升。(2)為稜角。《漢書·律曆志》中有「六觚為一握」之記載。【蘇林曰：「六觚，六角也。度角至角，其度一寸，面容一分，算九枚，相因之數有十，正面之數實九，其表六九五十四，算中積凡得二百七十一枚。」】，其中「六觚」是指用算籌做出圓內接正六邊形。此法是「度角至角」之術。「觚」為正六邊形的內角。同時，此術還是中華古代數學科學最早發明使用「割圓術」的典型實例。通過「六觚為一握」將圓周長分割為六等份，即通過算籌圖形證實了「徑一周三」圓周率源於中國最古老的「割圓術」。另有《周禮·冬官考工記·築氏為削》:「築氏為削，長尺博寸，合六而成規。」
《康熙字典》:【注】:「今之書刀。」【疏】:「古者未有紙筆以削刻字，至漢雖有紙筆仍有書刀是古之遺法也。」周朝時，築氏是專門製造「削刀」的工匠，刻字的「削刀」長一尺，寬一寸。刀的形狀帶有一定的弧度，將六把削刀首尾相連接可以組成規範的圓形。「合六而成規」講的是將圓弧分為六等份，此圓弧恰是圓內接正六邊形的弧長。說明築氏為削運用的是「六觚為一握的測量原理」。4.「桷」(jué)，方形的椽子。《詩經·魯頌·悶宮》，「路寢孔碩，松桷有舄(xì)」，《榖梁傳·莊二四年》，「刻桓宮桷。」釋文：「桷，榱(cui)也。方曰桷，圓曰椽。」也指平直的樹枝。
5.「楞」，四方的木塊。
6.「矩」，古代畫方的工具，亦稱之為「曲尺」，就是現代列入依法管理的計量器具「直角尺」。《周髀算經》載，商高曰，「既方之外半其一矩」。我們可以理解為：連接圓內接正方形的對角線，將正方形一分為二，即可以得到兩個直角三角形。故「矩」在非圓心角，畫圓為360度的體系之外即是直角。「矩形」即是四個角為直角的四邊形。按中國古代土地面積的計量方法「百步為畝」，「長十步寬十步」的正方形，稱之為「方田」。秦國商鞅變法，破井田開阡陌使秦國「畝」的單位量值為240方步。此時土地面積的計量方法由標準的正方形變成長方形。土地面積的量值由「百步為畝」變成了「長十六寬十五不多不少整一畝」。自黃帝設「裡步制」至清順治確定使用「弓尺」、「繩尺」測量土地面積，中國土地面積計量始終沿用以「矩」確定直角，測量正方形或長方形面積的傳統。所以，古代「裡步制」的「步」———「平方步」，「裡」———「平方裡」以及「井田制」之「井」都是正方形。
7.「倨(jù)句(gōu)」，《周禮·冬官考工記·冶氏》，「戈廣二寸，內倍之，胡三之，援四之已倨則不入，已句則不決……是故倨句外博……倨句中矩」，此為冶煉製造「戈」和「戟」必須注意的角度的技術要求。倨：《康熙字典》其解：(1)為「倨傲不遜」；(2)為「矩之直者為倨，折而衡者為句」。此處所講：矩的上下垂直於地平面的一邊為倨，使之折而為衡的部分為句。故「倨句」當解釋為古代之「矩」器。「倨句外博」「倨句中矩」應該是講述使用「倨句」測量戈的張角，張角大於倨句角。「倨句中矩」是講述使用「倨句」測量戟時，戟的張角等於倨句之角和「矩」相符。所以，從計量測量角度分析，「倨句」可以解釋為是計量器具「矩」的別稱，也可以理解為其量值是直角。「倨」與「句」形成「倨句」一詞是表示角的開闔程度。這就是在沒有發現、使用用度數區分角度大小的條件下，「有角無度」的認識階段對「角」這一概念進行表述的專用名詞。
8.「磬」，《康熙字典》例舉出《周禮·冬官考工記·磬氏為磬》:「磬氏為磬，倨句一矩有半。」之句。其注曰，「先度一矩為句，一矩為股，而求其弦。既而以一矩有半，觸其弦，則磬之倨句也。」按注畫圖：(1)先用矩的一邊作為句，另一邊為股，求出弦———即用矩，畫出直角三角形；(2)在做出一矩有半直角與弦相交形成的角就是「磬」角。故此注中「倨句」之解為「角」。另外，此注是詳述：用矩畫出「磬」角的方法。
9.「磬折」，《康熙字典》在解釋「磬」字時，提出由「磬」字組成的詞「磬折」。「又磬折《禮·曲禮》:立則磬折垂珮。【注】帶珮於兩邊臣則身宜僂折如磬之背故云『磬折』。」按此解釋，「磬折」一詞譯成現代漢語應當是：《周禮》在規定侍奉君主站立在君王兩側的臣子必須保持鞠躬的姿勢，他們佩戴的玉佩垂直於地面，僂身像磬彎曲的程度。所以，此處「磬折」是「身宜僂折如磬之背」的鞠躬的姿勢，「磬」為固定的角，「磬折」是像「磬」彎曲的樣子。「磬」是古代有定量值的角，「磬折」彎曲的程度與「磬角」近似。
10.「宣」，《康熙字典》中「又《周禮·冬官考工記》車人之事，半矩謂之宣。」「矩」為直角，「半矩」為直角的一半。故「宣」是中國古代「以矩起度」的一個具有定量值的角。
我們認為，商高所述「用矩之道」:其中之「矩」乃指「矩尺」，亦稱之「曲尺」，當今稱之為「直角尺」。其中「用」字應解釋為「檢定、使用的全部操作。」其中之「道」字應解釋為「道理、道義、法規」。所以我們將商高所述「用矩之道」解釋為在「百工」中通行的檢定、使用「矩」的技術法規。「用矩之道」中「平矩以正繩」，從計量技術角度出發是扼要說明「矩」器之角的量值溯源與檢定。「用矩之道」中「偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方。」則是「用矩」進行測量的統一操作、計算及「規圓矩方」的作圖方法。商高將五個放置「矩」的方式，形成的五種測量方法，運用排比句修辭鍊句手法描述了「用矩之道」的內容。
(1)「偃矩以望高」中「偃」是將「矩」仰臥放置，即將「矩」的「股」外側面置於平面之上，此時「矩」之「句」垂直於平面(見圖1、圖2)。
(2)「覆矩以測深」中「覆」為倒也。即使「矩」之股端垂直於水平面，「矩」之句與水平面平行(見圖3、圖4)。
(3)「臥矩以知遠」中「臥」，平放也。即將「矩」之句放置在水平面上，使「矩」之股垂直於水平面(見圖5、圖6)。
(4)「環矩以為圓」將「矩」之句外側面放置在平面上，以「矩」之句與股交點為圓心，做圓周運動，句之外端的運動軌跡形成「一中等長」的圖形，此圖形為圓。「環矩為圓」即使用「矩」作圓的作圖方法。