來源：環球科學
1915年，愛因斯坦提出了廣義相對論。作為20世紀最偉大的科學理論之一，廣義相對論經過時間的檢驗，已經成為現代物理學的重要基石。但鮮為人知的是，即使到了20世紀50年代，由於缺乏實驗證據，對廣義相對論感興趣的人也並不多。因此，愛因斯坦試圖將廣義相對論推廣為新的理論。
正是在這樣的背景下，愛因斯坦為《科學美國人》寫下了這篇文章。愛因斯坦在文中回顧了物理學的發展歷史、解釋了廣義相對論的基本思想，並介紹了如何通過非對稱的度量場來推廣廣義相對論的思想。
我近期發表了一些有關場論的數學研究的文章，於是《科學美國人》的編輯找我寫一篇相關的文章。一些讀者可能會感到疑惑：我們尚在學校之時不就已經把物理的基礎知識學完了嗎？這個問題的答案可以是肯定的也可以是否定的，因為它取決於我們如何理解這個問題。確實，我們已經熟知許多概念和定理，這些定理足夠使我們理解大多數事情，並將它們轉化成可以用數學方法處理的問題。但在某種意義上，這些概念和定理甚至已經發展到頭了，比如光的反射定律、經典熱力學定理（建立在壓強、體積、溫度、熱、功的概念以及永動機不存在的假設的基礎之上）。
古典原子論和牛頓力學
是什麼促使我們在現有理論的基礎上再去發展新的理論呢？為什麼我們一開始就要去創造理論呢？答案很簡單：因為我們享受「理解」的過程，即通過邏輯的過程把未知現象變成一些我們早已知道或顯而易見的東西。當我們發現有無法解釋的新現象時，自然就需要新的理論。但是，這種建立新理論的動機是外界強加的。
其實在我看來還有另外一種更難以言表卻同等重要的動機，就是盡力去統一和簡化各種物理理論中最本質的東西，使其成為一個統一整體。
對很多人來說，理解未知事物和對音樂的熱愛一樣是與生俱來的天賦。這種對未知事物的好奇在孩童時期普遍存在，但隨著年齡的增長有可能慢慢丟失。但是，如果沒有這種熱愛，就不會有數學和自然科學。這種試圖去理解未知事物的痴迷會使人產生一種幻覺：我們可以通過絕對理性的思考，不依靠任何經驗就可以認識客觀世界。我認為，每一個真正的理論家都是某種被馴化了的形上學的哲學家，不論他幻想自己是一個多麼純粹的實證主義者。這些被馴化了的哲學家會認為邏輯上簡單即預示著結果是正確的。他們認為不是所有邏輯上簡單的東西都能夠在現實世界中找到對應物，但是一切知識都可以建立在一個十分簡單的抽象理論體系上。
古代原子論的興起是一個非常好的例子。古希臘哲學家留基（Leucippus）是如何得出這樣一個大膽的想法的呢？冰和水顯然是不同的東西，那麼水結成冰後再融化成水，現在的水和原來的水是相同的東西嗎？留基伯對此感到疑惑並試圖尋找一種解釋。他最後得出結論：物質世界應該是由相同的微小粒子構成的，在這種變化發生時，事物的本質並沒有變化，只是這些粒子的空間排列發生了變化。
在西方漫長的思想史中，留基伯的想法一直沒有被忘記。兩千年後，丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）想知道為什麼氣體對容器壁施加有壓力。從牛頓力學的角度來說，這應該用氣體各部分的相互排斥來解釋。但這個解釋看起來十分荒謬，因為在其他條件都一樣的情況下，氣體壓強僅取決於氣體自身的溫度。這個解釋表明相互作用力也取決於溫度，這與牛頓力學體系的思想格格不入。
由於伯努利已經理解了原子的概念，那麼他必然會得出原子（或分子）與容器壁碰撞，從而產生壓力的結論。我們必須假設原子在運動，這樣才能解釋氣體溫度的變化與壓強的關係。
從力學上簡單考慮，氣體壓力只取決於粒子的動能和它們在空間中的密度。這本應該能讓那個時代的物理學家得出結論：熱能是原子的無規則隨機運動的體現。如果他們能認真對待這一結果，那麼就可以極大促進熱力學理論的發展，特別是發現熱能和機械能相互轉化的規律。
這個例子意在說明，理論思想（這裡說的是原子論）既不是脫離於經驗產生的，也不是通過純粹的邏輯程序從經驗中得出的，而是產生於創造性行為。一旦捕獲了一個理論觀點，你最好堅持下去直到得出一個站得住腳的結論。
我覺得在對科學感興趣的讀者們面前詳細描述我最新的理論工作是不太合適的。因為只有通過實驗充分證實的理論才適於在讀者面前呈現，而我的理論沒有太多的實驗檢驗。我目前提出的新理論主要是將簡單的前提與支持該理論的其他理論（純引力場的定律）的密切聯繫呈現出來。
在牛頓力學體系中，物質的理論描述所依據的基本理論模型是質點或粒子，因此物質被認為是不連續的有必要將質點間的相互作用視為「超距作用」。但由於超距作用概念似乎與日常經驗完全相反，與牛頓的同時代人——實際上包括牛頓本人——都認為質點理論難以接受，這是很自然的。然而，由於牛頓力學系統近乎奇蹟般的成功，後來幾代的物理學家開始接受「超距作用」的想法。所有關於「超距作用」的疑問被忽視了很長時間。
場與電磁理論
19世紀下半葉，當電動力學定律為人所知時，人們發現這些定律不能融入到牛頓力學體系中去。這裡我有一個有趣的想法：如果法拉第接受了正規的大學教育，他會發現電磁感應定律嗎？由於沒有受到傳統思維方式的束縛，他覺得引入「場」作為現實的獨立元素有助於協調各種電磁實驗中發現的現象。麥克斯韋完全理解了法拉第關於場的概念，並且有了一個根本性的發現：電動力學定律可用電場和磁場的微分方程表達。這些方程表明了電磁波的存在，而且電磁波的性質與光的性質相一致。
在努力完成物理學大一統的過程中，把光學納入電磁學理論是最是代表性的偉大勝利之一。早在赫茲的實驗工作之前，麥克斯韋就通過理論論證了這種統一。至少在電磁學領域中，這一新的見解使人們有可能摒棄超距作用這一假設；相互作用的場（intermediary field）成為了物體間電磁相互作用的唯一載體，而場的行為完全取決於由微分方程表徵的連續過程。
這樣就產生了一個問題：既然場可以存在於真空中，那麼我們應該把它想像成是一種「載體」的波動，還是應該認為它是一種獨立的不可簡化的存在？換言之，是否有一種攜帶場的「以太」（Ether）；當以太攜帶光波時，它被認為處于波動狀態？
上述問題有個很顯然的答案：既然人們接受了場的概念，那麼最好不要再引入一個具有假設性質的載體。然而，那些最先認識到場的概念不可或缺的探路者們，仍然被機械論的思想傳統束縛著，無法接受這個簡單的觀點。但在接下來的幾十年裡，這種觀點不知不覺地佔據了上風。
「場」作為一個基本概念的引入，導致了理論整體上的不一致性。麥克斯韋理論雖然充分描述了帶電粒子相互作用時的行為，但它不是描述粒子本身性質的理論。因此必須根據舊理論將帶電粒子視為質點。而連續場的概念與空間中不連續的質點的概念結合起來會顯得不自洽。微分方程要求所有要素在時間上和空間的所有點上都具有連續性。因此在場論中物質粒子並不是作為基本概念存在的。也正是這個原因，即使不考慮萬有引力，麥克斯韋的電動力學也不能被看作是一個完整的理論。
相對論
如果空間坐標和時間經歷過一種特殊線性變換——洛倫茲變換，那麼在洛倫茲變換下，真空麥克斯韋方程組保持不變，這被稱為洛倫茲變換的「群」性質。
麥克斯韋方程組隱含著「洛倫茲群」，但洛倫茲群並不只適用於麥克斯韋方程組。洛倫茲群是獨立於麥克斯韋方程定義的一組線性變換，該變換保持光速不變。這些變換刻畫的是一個慣性繫到另一個慣性系的變換，後者相對於前者做勻速直線運動。該變換群最突出的新特點是，它消除了空間中兩個事件的絕對同時性。在這種情況下，所有的物理方程都應該是關於洛倫茲變換（狹義相對論）協變的。因此，麥克斯韋方程組導出了一個具有啟示性的原理，該原理的有效性遠遠超出了方程組本身適用的範圍。
狹義相對論與牛頓力學的相同之處在於這兩種理論下的定律都只適用於某些特定的參考系，即慣性系。慣性系是一種處於運動狀態的系統，其內部處於「不受力」狀態的質點相對於這個參考系不會加速。然而如果沒有獨立的方法來辨別這個質點是不是真的處於不受力狀態，這個慣性系的定義就是無效的。
如果把引力看作一個「場」，便可以更加深入地討論這個問題。
設A是一個相對於「慣性系」Ⅰ做勻加速運動的參考系。一些質點相對於Ⅰ沒有加速度，而相對於A有加速度，且所有質點的加速度大小和方向都相等。這些質點的加速度好像是由一個引力場引起的，因為引力場引起的加速度與物體自身的特性無關。我們沒有理由拒絕把這解釋為「真實」引力場的影響（等效原理）。這個解釋意味著即使A參考系相對於另一個慣性系統被加速，它仍是一個慣性系。（儘管沒有定義產生引力場的有質量物體，但引入獨立引力場被認為是合理的，而且這對於這裡的討論是至關重要的。但對牛頓來說，這樣的論點似乎沒有說服力）。
這就是等效原理：為了在理論中解釋慣性質量和引力質量的相等，我們有必要引進四個坐標的非線性變換。也就是說，洛倫茲變換群和因此而產生的一系列「可允許」的坐標變換必須得到擴展（從線性變換走向非線性變換）。
那麼洛倫茲變換可以被拓展成哪些非線性坐標變換呢？我們從數學上給出了一個基於高斯和黎曼研究的答案：合適的變換是所有坐標的連續（解析）變換的集合。在這些變換中，唯一不變的是相鄰點的坐標幾乎完全協同變換；坐標系只表示空間中點的拓撲順序（包括它的四維特徵）。表示自然規律的方程必須對所有坐標的解析變換都是協變的。這就是廣義相對論原理。
剛才描述的過程克服了一個基礎力學的缺陷，這個缺陷其實早已經被牛頓注意到，並且也被萊布尼茨批判過。這個缺陷在牛頓之後的兩個世紀後又被馬赫批判了，這個缺陷在於：慣性是抵抗加速度的，但抵抗的加速度是相對於什麼參考系而言的呢？在經典力學的框架內，這個問題的唯一的答案是：慣性抵抗的是相對於空間的加速度。這是空間的物理性質：空間是物體的載體，但物體不作用於空間。這可能就是牛頓主張「空間是絕對的」的深層含義。但是這種想法使一些人感到不安，特別是萊布尼茨，他不認為空間是獨立於物體而存在的，相反他認為空間是「物體」的一種屬性（物理對象的接觸）。如果他的想法在當時被證明是正確的，這對物理學來說不會是一件好事，因為在17世紀缺乏必要的實驗和理論基礎來支持他的觀點。
在廣義相對論中，獨立於物體的空間概念是不存在的。空間的物理實在是由一個場所代表，這個場由四個自變量（空間和時間的坐標）的連續函數組成。
廣義相對論通過一個連續場來表示物理現實，所以粒子和質點不能作為基本的概念，也不能作為運動的概念。質點只能出現在空間的場強度或能量密度非常高的有限區域。
相對論不得不回答兩個問題：這個場的數學特性是什麼？什麼方程適用於描述這個場？
對於第一個問題：從數學的觀點來看，這個場的本質特徵是應用坐標變換下的分量變換。對於第二個問題：必須是滿足廣義相對論假設的條件下確定足夠範圍的場，這個要求能否被滿足取決於場的選擇。
試圖理解這種抽象經驗公式的相互關係在一開始也許看起來有點無望。其實這個過程提出了一個問題：在保留廣義相對論的同時，從這些最簡單的物體（場）中能得到什麼物理性質？
每一個理論真是有推測性。當一個理論的基礎概念接近經驗時（比如力、壓力、質量的概念），它的推測性是不明顯的。然而，如果一個理論需要應用複雜的邏輯過程從而得出結論，那麼每個人都會看到這個理論中的推測性。在這種情況下，那些缺乏認識論分析能力的人，會產生一種幾乎無法抵抗的厭惡感。
另一方面，我們必須承認如果一個理論的概念和基本假設與經驗接近，那麼它將有巨大的優勢，並且我們更願意相信這個理論是合理的。由於這些理論與經驗相近，我們更願意接受這些理論，這樣會極大地減小徹底誤入歧途的危險。然而隨著我們知識深度的增加，我們必須在探求物理理論的過程中放棄這些經驗主義。必須承認，廣義相對論在放棄經驗性以獲得邏輯簡單性方面比之前的物理理論走得更遠。當然，這也適用於萬有引力定律，也符合試圖統一所有場的大一統理論。
阻礙相對論發展的最大內在因素是問題的雙重性，我們之前提出的兩個問題已經表明了這一點。因此理論發展了分為兩個步驟，並在時間上分開。步驟中的第一步，即引力理論，是基於上面討論的等效原理，並做以下考慮：根據狹義相對論，光具有恆定的傳播速度。如果在時間X4，真空中的光線從一個由三維坐標系X1、X2和X3標定的一個點開始傳播。以球面波的形式傳播併到達相鄰點X1+dX1，X2+dX2，X3+dX3，時間變為X4+dX4，我們引入光速c並寫出表達式：
該表達式表示四維中相鄰時空點之間的客觀關係，並且適用於所有慣性系，前提是坐標變換服從狹義相對論。然而，如果根據廣義相對論，我們允許坐標的連續變換，坐標關係呈現出更為一般的形式：
∑gikdXidXk=0
gik是坐標的某些函數，如果應用連續坐標變換，gik將以確定的方式變換。根據等效原理，gik函數描述了一個特殊的重力場：一個可以通過「無引力場」空間變換得到的場（等效原理是廣義相對論的第一個基本原理，是整個廣義相對論理論的核心。這個原理的基本含義是指重力場與以適當加速度運動的參考系所產生的慣性力是等價的。換句話說，在一個加速上升的封閉電梯裡，你看不到外面的風景，那麼你感受到的慣性力與引力是不可區分的。）同時gik滿足一個特定的變換規則。從數學上來說，它們是有對稱性的張量的一部分，在所有變換中都存在，對稱性表述如下：
gik=gki
雖然我們不能指望這樣的對稱張量能描述最一般的引力場，但它能很好地描述特定情況下的「純引力場」。所以至少在特殊情況下，廣義相對論顯然要假設「場」是對稱張量場。
如此一來只剩下第二步了：對於一個對稱張量場，我們可以採用怎樣的協變場定律？
這個問題在我們現今的時代不難回答，這是因為在曲面的度規理論中已經包含了最必要的數學概念。這些數學概念是一個世紀以前由高斯 發明的，並由黎曼拓展到一個任意維數的流形上。廣義相對論可以假設場gik的偏微分方程，而且微分不能低於二階，即它們必須至少包含gik的二階導數。假設場方程中沒有出現比二階導更高的項，那麼該定律就在數學上被廣義相對論確定了。這個方程組可以被寫成這種形式：
Rik=0
上式中，Rik是裡奇張量。
讓這個Rik 以和gik相同的方式變換，它們都是對稱張量。
在把質量表示為場的奇點的情況下，這些微分方程完美替代了牛頓的天體運動理論。這些微分方程涵蓋了力的定律和運動法則，而且在非慣性系時也適用。
事實是當質量以奇點的形式出現時，就已經表明了那些質量本身不能被對稱gik場，或著說我們常說的「引力場」所解釋。顯然，一個完備的相對性的場理論必須基於一個更複雜的性質，而對對稱張量場進行推廣。
圖片來源：Time Travel Research Center
廣義相對論的推廣
在推廣之前，以下兩個有關引力理論的基礎知識對於接下來的解釋是必不可少的。
第一個是廣義相對性原理，這個原理對理論可能性施加了極強的限制。若沒有這個限制性原則的話，即使你熟知狹義相對論原理，知道場必須用對稱張量描述，也不可能得到廣義相對論的引力方程。也就是說，除非使用廣義相對性原理，否則哪怕你有再多的實驗數據，你也不可能得這個方程。這就是為什麼我認為所有試圖更加深入地了解基礎物理知識的嘗試似乎都註定要失敗，除非這些基本概念從一開始就與廣義相對論自洽。無論我們的經驗知識有多豐富，這種情況都使我們很難去尋找物理學的真諦，因此我們需要比大多數物理學家更大膽地運用天馬行空的想像。我認為「廣義相對論的啟發性意義僅限於物理的引力方面」這樣的觀點是不全面的，物理的很多方面可以用狹義相對論解釋，但狹義相對論需要與廣義相對論的理論框架相嵌合。雖然我們當今對引力作用的了解雖然不夠充分，但是如果我們要對這一基本性質進行理論研究的話，廣義相對論是不可忽略的有力工具。且容我冒昧地問一句：如果沒有了引力理論，物理會是什麼樣？
第二，廣義相對論引力方程是關於對稱張量gik的10個微分方程。在廣義相對論的情況下，坐標系存在自由選擇的可能性，這意味著在通解的10個函數或場的分量中，通過對坐標系的適當選擇，可以使4個函數具有規定的值。換句話說，廣義相對性原理（坐標系的任意選擇）意味著決定微分方程的函數個數不是10而是10-4=6個。對於這6個函數，只能假設存在6個獨立的微分方程。因此在10個微分方程中，只有6個是相互獨立的，其餘的4個必須通過4種關係（恆等式）與那6個聯繫起來。事實上也確是如此，在10個引力方程中有4個恆等式（畢安基恆等式），以確保它們的「兼容性」。
在場變量的數量等於微分方程數量的情況下，兼容性總是可以保證的。這符合引力方程的情況。
然而，10個微分方程不能完全被6個所代替。雖然方程組是「超定的」，但由於恆等式的存在，它的超定性不會影響它的兼容性，解的多樣性不會受到嚴格限制。
經過這樣的準備，現在就很容易理解研究的本質，而不需要深入研究它的數學基礎。現在的難題是為所有的場建立相對論理論。解決這個問題最重要的線索是已有的純引力場的特解。因此，我們所尋求的理論必須包含引力理論。我們的問題是：什麼是對稱張量場的自然推廣？
這個問題不能單獨回答，只能與另一個問題「這個領域的哪一種場將提供最自然的理論體系？」聯繫起來回答。這個問題的答案是對稱張量場必須被非對稱張量場所取代。這意味著必須放棄場的分量gik=gki的條件。在這種情況下，場有16個分量而不僅僅是10個分量。
建立非對稱張量場的相對論微分方程仍然是一項艱巨的任務。在試圖解決這個問題的過程中，人們遇到了在對稱場的情況下不會出現的困難。
廣義相對性原理不能完全確定場方程，主要是因為場的對稱部分的變換一律不涉及反對稱的部分，反之亦然。也許這就是為什麼以前幾乎沒有人嘗試過用這種方式對統一場進行研究。在這個情景下，對稱和反對稱的部分都有作用，場的兩部分的結合才能被證明是一個自然的過程。
事實證明，這一要求確實可以自然地得到滿足。但是如果考慮廣義相對性原理，這個要求仍不足以唯一確定場方程。因為場方程的方程組必須滿足的另一個條件：方程組必須兼容。
但是，包含反對稱張量的場方程有兩個，它們是通過兩種不同的方式出現的。變分原理為我們提供了兩個不同方程組（儘管他們只是稍微有點不同），讓我們用E1和E2來表示它們，但這兩個方程組都有著特定的缺陷。
實際上，正是由於方程組E1和E2的形式缺陷，這給我們指出了一條可行的道路。那就是存在第三個方程組E3，它沒有方程組E1和E2的形式缺陷，並且E3的每個解都表示為E1和E2解的組合。這表明E3可能是我們一直在尋找的方程組。那麼，我們為什麼不直接假設E3為方程組的解呢？這是因為E1和E2的兼容性並不意味著E3具有兼容性，並且方程的數目超過了場分量數目，所以這樣假設是不合理的。
另外，我有一個考慮，是否存在一種更強大的不需要考慮兼容性問題的方程組E3，是唯一能夠真正自然地概括萬有引力的方程。
但是E3並不是一個與方程組E1和E2在同一意義上兼容的方程，E1和E2的兼容性是由足夠多的恆等式來保證的。使用經典力學的語言，我們可以說：在方程組E3的情況下，「初始條件」不能自由選擇。而真正重要的是這個問題的答案：方程組的各種解是否必須如物理理論所需求的那樣廣泛？這個純粹的數學問題至今仍未解決。
懷疑論者會說：「從邏輯的角度來看，這個方程組可能是合理的，但這並不能證明它符合自然。」你是對的，親愛的懷疑論者。只有實踐才能檢驗真理。然而，如果我們成功地提出了一個有意義的精確的問題，我們就已經取得了一些成就。儘管已經有許多已知的依據和事實，但要想肯定或否定這個方程組並不容易。因為從方程組中推導出真實的物理可能需要付出艱苦的努力，也可能需要新的數學方法。