撰文 | 七君
來源：把科學帶回家
大家對瓷磚應該很熟悉，瓷磚多是三角形、四邊形和六邊形，很少有其他形狀的。那麼，能夠鋪滿任意平面的瓷磚是不是只有這些形狀呢？
伊朗伊瑪目清真寺中的幾何密鋪丨圖片來源：Hosein Aghaei
這個問題自古希臘時代就吸引著數學家們。在數學中也有專門研究能夠鋪滿整個平面而不留空隙的地磚圖形的分支——密鋪（tessellation）。被尊為偉大的數學家的大衛·希爾伯特（David Hilbert）曾在1900年將密鋪問題列為他的23個問題之一。
當然，除了貼瓷磚，密鋪在日常生活中也有很重要的應用。比如，顯卡大都是利用三角形的密鋪性質實現渲染的。渲染的速度和效果嚴重影響了用戶體驗，愛打電腦遊戲的人應該有一手的感悟。
在製造業，為了減少原材料的浪費（如切割車門所用的金屬），在製作模型時也要儘可能使用密鋪圖形。
許多人不知道的是，一位只有高中學歷的家庭婦女，卻在天命之年為這個數學分支做出了重要的貢獻，美國數學學會（MAA）甚至用她發現的密鋪圖形鋪地磚。一起來看看這位傳奇的女士的故事吧。
Marjorie Rice丨圖片來源：Sharon Whittaker
1923年，Marjorie Rice 出生在美國佛羅裡達州的一個普通農戶家庭裡。在上中學時，她跳了兩級。後來在高中時期，她選了文秘方向，只修了一門數學課，因為在當時，女孩子只能選一門數學課。
而由於時代對女性的限制以及家庭的貧困，她沒有上大學。高中畢業後不久，她嫁人生子，成了一名家庭主婦。
時間推進到1975年。那時，已經52歲的 Rice 的5個孩子中的大部分已經成年， Rice 有了更多閒暇的時間。而因為小兒子愛好科學，Rice 就為他訂閱了科普雜誌《科學美國人》。愛好自然科學的她也經常第一時間拿來翻閱，並成了《科學美國人》的著名數學科普作者 Martin Gardner 的數學專欄的迷妹。
圖片來源：Martin-Gardner.org
沒想到，那一年的兩期《科學美國人》成了 Rice 和密鋪研究的一個分水嶺。
1975年7月，Gardner 發表了一篇文章（On tessellating the plane with convex polygon tiles），介紹了密鋪方面的最新進展。
在了解這些進展之前，我們先來了解一下數學家們在研究密鋪的什麼性質。
首先，小學生可以很容易理解，任何三角形都可以沿著一邊旋轉180度，雙雙配對，然後把整一個平面鋪滿。再拓展一下，任意四邊形，不管是凸的還是凹的，也可以用同樣的方式鋪滿一個平面。
圖片來源：wikipedia
但是，這個結論不能擴展到五邊形。比如，正五邊形就不行。
正五邊形無法密鋪丨圖片來源：geogebra
那麼，是不是任何五邊形都不行呢？
1918年，德國數學家 Karl Reinhardt 在他的博士畢業論文中證明，有5類五邊形可以鋪滿整個平面。這5類五邊形長這樣——
Reinhardt 發現的5類可以密鋪的凸五邊形丨圖片來源：Deke McClelland
Reinhardt 發現，只要五邊形的邊和內角滿足一定的條件，就可以鋪滿一個平面。第1類能密鋪的凸五邊形很容易理解：只要有任何兩條邊平行，那麼這個五邊形就可以密鋪。
Reinhardt 還指出，凸七邊形以及邊數超過7的凹多邊形無論如何都無法對平面實現密鋪。
可是，Reinhardt 並不知道自己找到的5類五邊形是否完備，也就是說，是否所有能密鋪的凸五邊形就只有這5類。這個問題也就這樣被擱置了50年。
1968年，約翰霍普金斯大學的數學家 Richard Kershner 發現了新的3類凸五邊形。這3類五邊形要實現密鋪，必須要成雙成對。
Richard Kershner 發現的3類凸五邊形密鋪。圖片來源：（DOI）10.1080/00029890.1968.11971075
Kershner 認為，能密鋪的五邊形就這麼8類，不能更多了，並在論文中加了一句話：「證明過程太複雜，以後再單獨證明」。聽起來是不是有費馬「對上述命題，我已發現了一種絕妙的證明，可惜書邊太窄了寫不下。」那味了？
Kershner 雖然沒有給出完整的證明，但是他的觀點卻藉由 Gardner 的專欄被世人所知。
這篇文章刊出後不久，業餘數學家 Richard James III 寫了一封信給 Gardner，告訴他有第9類可以密鋪的五邊形。
他是從阿基米德地磚（Archimedean tiling）中找到了靈感。實際上，阿基米德地磚中的八邊形可以等分為4個五邊形。八邊形稍微排列一下，就可以在空隙中塞入這種五邊形。顯然，這種八五邊形可以實現密鋪。
阿基米德地磚四等分後，可以形成第1類凸五邊形丨圖片來源：Doris Schattschneider
要注意的是，這種五邊形有兩條平行邊，因此屬於第1類凸五邊形，不算新的。但是 James III 巧妙地對八邊形的四分切割進行了調整，讓切割的「十」字微微傾斜，使切出來的五邊形的任意兩條邊不再平行。這麼一來，就出現了第9類凸五邊形。
Richard James III 發現的第9類密鋪丨圖片來源：Deke McClelland
這種新的五邊形需要3個一組才能實現密鋪，用數學家的行話來說，這種五邊形屬於 3-block tiling（3塊密鋪）。
於是在1975年12月的《科學美國人》上，Gardner 把這位讀者的發現刊登了出來。後來在20世紀90年代，俄亥俄州立大學數學系的教授 Henry Glover 和 J. Philip Huneke 用這第9類凸五邊形裝飾了數學系6樓的地板。
Rice 也看到了這篇文章，但直覺告訴她有什麼不對勁，於是自己開始研究有沒有什麼新類型的五邊形密鋪。做完家務，她就在廚房的餐桌上做自己的數學研究。家人回來或是有客人來，她就把自己的研究筆記藏起來。所以在很長一段時間裡，沒有人知道她在尋找密鋪五邊形的事。這一秘密的研究就這樣持續了二十來年。
因為只有高中學歷而且沒有幾何學基礎，Rice 只能自創數學符號來表示多邊形的性質。這是她的筆記——
Rice 用自創的符號對 Gardner 介紹的9種凸五邊形進行分類。圖片來源：（DOI）10.1080/17513472.2018.1453740
很快，她就有了收穫。1976年2月，她寫信給 Gardner，將自己發現的密鋪凸五邊形寄了過去。
Rice 發現的第9類凸五邊形及定義（右上角）。因為 Rice 的證明在前，因此是第9類，James III 的是第10類。圖片上面的變形體是她用圖像證明這第9類五邊形的可能變化形態。丨圖片來源：site of marjorie rice
Gardner 把 Rice 的信轉交給了另一位數學家 Doris Schattschneider，後者對這位業餘數學愛好者產生了強烈的興趣。
Schattschneider 證明 Rice 的發現是新類型的凸五邊形，她還從中得到了一個猜想：如果一個五邊形的四條邊長度相等，且四個角之間滿足一定的條件，就能實現密鋪。
令 Schattschneider 意外的是，Rice 很快駁斥了這個猜想。Rice 指出，滿足這個猜想中一共包括4類五邊形，其中2類是無法實現密鋪的。Schattschneider 後來不得不承認，Rice 是對的。
就這樣，在 Rice 的鑽研下，能夠密鋪的凸五邊形增加到了10類。
1976年12月，Rice 又發現了兩類新的密鋪五邊形，後來這兩類五邊形被稱為第11類和第12類。而在1977年12月，Rice 發現了第13類密鋪五邊形。在 Schattschneider 的協助下，這些結果發表在了期刊 Mathematics Magazine 上。
Rice用自己發現的兩類凸五邊形密鋪製作的插畫丨圖片來源：Kathy Rice
20世紀90年代，Rice 在研究了3塊式的密鋪後，發現了一種五邊形密鋪，她把這種五邊形命名為 versatile。
美國數學學會（MAA）華盛頓總部大廳的地板的圖樣是 Rice 發現的五邊形 versatile。圖片來源：I. Peterson, mathtourist.blogspot.com.
1999年，美國數學學會就用 Rice 發現的這種密鋪裝飾了華盛頓總部大廳的地板，並於次年授予了 Rice 一份榮譽證書。
在 Rice 的一系列發現後，密鋪領域沉寂了一段時間。1985年，Rolf Stein 找到了第14種能密鋪的凸五邊形。2015年，第15類密鋪凸五邊形被發現：華盛頓大學的數學家 Casey Mann 和同事用計算機暴力搜索的方式找到了第15種。
2017年，數學界出現了一種聲音，那就是能密鋪的凸五邊形就只有那15類，沒有更多了。如果真是這樣，那麼 Rice 一人就貢獻了其中的4/15。
目前發現的15類能實現密鋪的凸五邊形及其性質丨圖片來源：wikipedia
巧合的是，Rice 於2017年去世。晚年時的認知衰退使她沒有辦法得知密鋪凸五邊形方面的新進展。
儘管做出了這麼多貢獻，但 Rice 從沒有就自己的發現進行演講，反而對於沒有在數學方面進行深造感到很後悔。私底下她是一個非常害羞靦腆的人，她甚至都沒有主動告訴孩子們自己在數學上的成就，這也是許多人不知道她的一個原因。
1995年，72歲的 Rice 參加洛杉磯的數學會議丨圖片來源：（DOI）10.1080/17513472.2017.1399680
她唯一一次參加學術會議，是在1995年洛杉磯的一次數學大會上。在 Schattschneider 的強烈要求下，Rice 答應和丈夫出席會議。在會場上，Schattschneider 向在座的數學家們介紹了 Rice。Rice 起身致意，所有與會者起立鼓掌，大廳裡掌聲久久不息。
懂了，人生幾何（人生下來就要學幾何），法力5邊（最強的力量是五邊形）。
本文經授權轉載自微信公眾號「把科學帶回家」。無標註圖片來源網絡。參考資料儲存於石墨：https://shimo.im/docs/kdPPHdTyvtQXRYcP/