【從入門到高手:回歸分析】多元回歸分析:如何求解多元回歸方程

許栩原創專欄《從入門到高手：線性回歸分析詳解》第五章，多元線性回歸分析：如何求解多元回歸方程。

在前面的章節中我講到，實際需求預測場景中，通常，影響需求的因素不止一個，對需求影響的因素可能多種多樣，也就是說自變量多種多樣，很少能用單一的變量（也即一元回歸分析）來做好需求預測。

這時，我們需要用到多元回歸分析。回歸分析在需求預測的應用，也主要是多元回歸分析。對需求預測而言，多元回歸更具有適用性和有效性。

多元回歸分析是一種應用範圍很廣的定量預測方法，是使用最多的需求預測方法之一，也是商業領域應用最廣泛的建模技術，沒有之一。多元回歸分析幾乎可運用於任何商業環境中，當然，包括需求預測。

本章主要內容如下，本專欄總目錄見下圖。

1、多元回歸方程。

2、納入多元回歸方程自變量的確定。

3、求解多元回歸方程。

 

多元回歸方程。

多元回歸分析，而稱重回歸分析，就是通過多個因素（自變量）對目標（因變量）進行預測的一種手段和方法。

多元回歸分析，可以理解為有兩個或兩個以上自變量的回歸分析。

多元回歸分析自變量和因變量的關係，可以多元方程式的形式表現出來，這個多元方程式就是多元回歸方程。

多元回歸擁有兩個或兩個以上的自變量，多元回歸方程式是y=a1x1+a2x2+…+anxn+b。（見下圖）

多元回歸方程與一元回歸方程很相似，區別在於一元回歸方程是一個自變量，而多元回歸方程有多個自變量。（見下圖）

下圖式中，y為因變量，即我們要預測的目標，x1為自變量1，x2為自變量2，x3為自變量3，…，xn為自變量n，。

a1、a2、a3、…、an分別為x1、x2、x2、…、xn的回歸係數（也叫偏回歸係數）,代表每個自變量對因變量影響的大小。

b為截距，為多元回歸直線與Y軸交點的縱坐標。

 

納入多元回歸方程自變量的確定。

前文我說到，影響需求的因素，也就是說自變量有很多個，我們不可能也沒有必要把這些自變量都納入多元回歸方程。何況這些自變量有的影響大，有的影響小，有的重要，有的不重要。這時，我們需要做出選擇，需要採取辦法將影響大的自變量納入多元回歸方程。

採取什麼方法呢？做相關分析。即對每一個自變量和因變量做相關分析，也就是求出每一個自變量和因變量的相關係數R，然後按一定的標準，將相關係數R達到一定標準的納入回歸方程。（這裡涉及到一個「多重共線性」的問題，我將在本專欄的下一章，即第六章詳細講述，本章暫不深入。）

我們可以用Excel函數CORREL計算相關係數R（詳細計算方法請見本專欄第二章《回歸分析的基礎概念之2：確定關係與相關關係，相關係數與判定係數》）。

相關係數R達到多少才可以納入多元回歸方程，我給出如下的標準。（詳見下圖）

 

上圖說明如下：

1、強相關、中相關直接納入多元回歸方程，即相關係數R比±0.5或更大（小）的自變量直接納入多元回歸方程。

2、弱相關，即相關係數在±0.3—±0.5之間的變量，可考慮納入多元回歸方程。根據其它數據情況（比如多得共線性），以及這個變量的特性及未來發展預期等情況綜合考慮。

3、微弱相關或不相關，即相關係數比±0.3或更小（大）的變量，直接排除在多元回歸方程之外。

下圖，我給出了一個納入多元回歸方程自變量選擇的實例。我仍模擬了「回歸火鍋店」的一組數據，下文的求解多元回歸方程，也將用這個數據。（為便於講解，我只列出了三個自變量。）

從圖中可以看出，氣溫越低，業績越好，折扣越低（即促銷力度越大），業績越好。所以，回歸火鍋店的業績，與氣溫和促銷折扣強相關關係（反相關），我們需要將這兩個自變量納入多元回歸方程。

而帥哥站臺，從數據中看出，與回歸火鍋店的業績幾乎沒有關係，我們將其剔除在回歸分析之外。

當然，下回可以試試美女站臺。

 

求解多元回歸方程。

按上圖模擬的數據，我們最終選擇兩個變量……

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