本篇我們來證明一個常見的優美的積分等式，聰明你是否看出如下等式曾在哪裡出現過呢？沒錯如下和正態分布中概率密度函數很像。但我們僅從積分學的角度來分析正面它。·證明它靈活的數學技巧，你準備好了嗎？
因為e^-x^2是關於x的偶函數，所以我們明顯可以想到
所以你只需要證明，學過概率論與數理統計的朋友，應該很熟悉這個式子
根據泰勒公式我們得到
所以當x不等於0時，e^>1+x,將x換成x^2或者-x^2可得，可得
所以很快得到一個等式，
那麼對於任意的自然數n，我們有
分別加上積分符號，得到：
所以根據廣義積分的收斂你可以輕易得到：
為了讓大家更好理解，我還是補充上上述等式的來源：
為了求解上述不等式兩邊的積分值，我們首先假設x=cot(t)=1/tant中的積分變量x替換成t，cot(t)是區間（0,π/2）上關於t的連續可微函數，因為0<cot(t)<+∞，cot(π/2)=0, dcot(t)/dt=-1/sint^2,又由於1+x^2=1/sin^t,所以我們得到
同理，若x=cost, 0<t<π/2, dcost/dt=-sint, 1-x^2=sint^2,則得到
另一方面，根據變量變換
我們得到
則上面的開頭得到的積分不等式就變成了
根據類似於斯特林公式可得到（如有必要會有專門文章解說）
因此
對上式進行變換x=t/2^1/2,則可得
即
這個就是數學中標準正態分布的概率密度公式。