方差、標準差、正態分布、超幾何分布、卡方檢驗、t檢驗基礎概念

2021-02-13 小夢遊仙境

幾個非常常見的統計學概念，簡單粗暴的基礎概念，初步理解。

方差

方差是在概率論和統計方差衡量隨機變量或一組數據時離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機變量和其數學期望（即均值）之間的偏離程度。統計中的方差（樣本方差）是每個樣本值與全體樣本值的平均數之差的平方值的平均數。在許多實際問題中，研究方差即偏離程度有著重要意義。
方差是衡量源數據和期望值相差的度量值.

標準差

標準差（Standard Deviation） ，中文環境中又常稱均方差，是離均差平方的算術平均數的平方根，用σ表示。標準差是方差的算術平方根。標準差能反映一個數據集的離散程度。平均數相同的兩組數據，標準差未必相同。

正態分布

正態分布（Normal distribution），也稱「常態分布」，又名高斯分布，正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標準差標準差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標準正態分布。

超幾何分布

超幾何分布是統計學上一種離散概率分布。它描述了從有限N個物件（其中包含M個指定種類的物件）中抽出n個物件，成功抽出該指定種類的物件的次數（不放回）。稱為超幾何分布，是因為其形式與「超幾何函數」的級數展式的係數有關。
超幾何分布中的參數是M,N,n，上述超幾何分布記作X~H(N,M,n) 。

卡方檢驗

卡方檢驗是用途非常廣的一種假設檢驗方法，它在分類資料統計推斷中的應用，包括：兩個率或兩個構成比比較的卡方檢驗；多個率或多個構成比比較的卡方檢驗以及分類資料的相關分析等。

t檢驗

T檢驗，亦稱student t檢驗（Student's t test），主要用於樣本含量較小（例如n < 30），總體標準差σ未知的正態分布。T檢驗是用t分布理論來推論差異發生的概率，從而比較兩個平均數的差異是否顯著。

相關焦點

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    T分布是一種抽樣分t分布是一種抽樣分布。它是區間估計，和假設檢驗的理論基礎，也是六西格瑪管理中，統計分析方法的基礎。它是這樣定義的，說從正態總體中進行抽樣，形成樣本，那麼，當總體標準差已知時，樣本均值的分布與總體分布完全一致，通過標準變換，可以轉換為標準正態分布；當總體標準差未知時，樣本均值的分布就構成了自由度為（n-1） 的t分布。t分布的概率密度函數也是兩頭低，中間高的鐘形曲線。其自由度越小，曲線越平坦，自由度越大，曲線越高企，當自由度大於30的時候，曲線與正態分布接近。
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    2、問：X方檢驗中自由度問題 答：在正態分布檢驗中，這裡的M（三個統計量）為N（總數）、平均數和標準差。因為我們在做正態檢驗時，要使用到平均數和標準差以確定該正態分布形態，此外，要計算出各個區間的理論次數，我們還需要使用到N。所以在正態分布檢驗中，自由度為K－3。（這一條比較特別，要記住！） 在總體分布的配合度檢驗中，自由度為K－1。
  • 卡方分布與卡方檢驗
    我們先來看看卡方分布的定義： 若k個獨立的隨機變量Z1,Z2,⋯,Zk，且符合標準正態分布N(0,1)，則這k個隨機變量的平方和 卡方分布的期望與方差分為為：其中n為卡方分布的自由度。χ2檢驗是以χ2分布為基礎的一種假設檢驗方法，主要用於分類變量。其基本思想是根據樣本數據推斷總體的分布與期望分布是否有顯著性差異，或者推斷兩個分類變量是否相關或者獨立。
  • 卡方檢驗,T檢驗和F檢驗
    卡方檢驗、T-test、F檢驗區別卡方檢驗卡方檢驗是一種用途很廣的計數資料的假設檢驗方法。
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    其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分布的幅度。我們通常所說的標準正態分布是μ = 0,σ = 1的正態分布。當μ=0，σ=1時，正態分布就成為標準正態分布N（0，1)。概率密度函數為：
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    t 分布t-分布（t-distribution）用於根據小樣本來估計呈正態分布且方差未知的總體的均值。如果總體方差已知（例如在樣本數量足夠多時），則應該用正態分布來估計總體均值。t分布曲線形態與n（確切地說與自由度df）大小有關。與標準正態分布曲線相比，自由度df越小，t分布曲線愈平坦，曲線中間愈低，曲線雙側尾部翹得愈高；自由度df愈大，t分布曲線愈接近正態分布曲線，當自由度df=∞時，t分布曲線為標準正態分布曲線。
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    2、問：X方檢驗中自由度問題答：在正態分布檢驗中，這裡的M（三個統計量）為N（總數）、平均數和標準差。    因為我們在做正態檢驗時，要使用到平均數和標準差以確定該正態分布形態，此外，要計算出各個區間的理論次數，我們還需要使用到N。
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    = 0.05), col = 「lightgrey」)　　評估檢驗的假設條件： 單因素方差分析的假設條件：因變量服從正態分布；各組方差相等。#Q-Q圖檢驗正態性假設library(car)qqPlot(lm(response ~ trt, data = cholesterol), simulate = TRUE, labels = FALSE)#數據落在95%置信區間範圍內，說明滿足正態性假設#方差齊性檢驗（Bartlett檢驗）bartlett.test(response ~ trt, data = cholesterol
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