作者：Steven Li（胡飛瞳）
來源：IPFS原力區
老子曰：「人法地、地法天、天法道、道法自然」。在區塊鏈的實踐中，由於是建立Code is Law的體系，遵循 In Math We Trust 的法則。在一個不受個體控制的網絡，遵循自然的法則尤其重要。我提倡Filecoin的設計從簡、自然。也是這個道理。
自然常數 e，是一個神奇的數，在數學中又極為自然。本文講一講 Filecoin 的共識機制的實現進化與自然常數 e 的關係。
內容提要一、自然常數 e二、初期預期共識空塊率過高：1/e三、預期共識的實現是一個不段發現的過程四、tipset區塊數預期提升（至5），安全性和效率的兼顧五、讓每一個字節都參與投票：優雅的密碼抽籤 + e【預警：數學、概率與分布】
數學常數 e
e 被成為自然常數，在數學家的眼裡，這個常數非常自然。但是，對於普通人而言，對於 e，由於沒有形象化的描述，就很難理解。本文通過 e 在 Filecoin中的應用，希望能夠找到一些點，能夠幫助大家 1）了解Filecoin的一些設計；2）通過 Filecoin 得到一點 e 的形象化的描述和印象。
常見的比較複雜的有意思的數學常數有兩個，一個是 π，一個是 e。大家對π 都非常熟悉，因為它有一個非常形象化的名字，叫圓周率，也就是說是任何一個圓的周長和直徑的比值。非常形象，非常容易理解。小學不學的話，初中總會學到了。
其實 e 是與 π 同等重要的一個數學常數，在數學中的使用一點也不比 π 少。比如就在我們今天所討論的 Filecoin 區塊鏈中，e 在很多地方被使用，而 π 則不然，基本上沒有被用到。
π = 3.1415926535897......e = 2.718281828459045......π 和 e 同為超越數，即不是代數數（有理數方程的解），當然也是無理數，無限不循環小數。
但其實，e 和 π 在數學中有非常緊密的關係。甚至可以說，e 就是 π 的另一種表示方法。為什麼呢，請看最優雅數學公式 - 歐拉公式：
為什麼優雅，這個一個簡單的公式把數學中的5個元素（0, 1, i, π, e）十分簡單地統一在一起了。就像物理學家希望統一力場一樣，數學家也有把總結簡潔規律的偏執。
這個公式也表達了 e 和 π 的簡單直接的關係。當然，他們之間還有一些有意思的關係，比如：
但是，這些仿佛把事情更加複雜化了，對於 e 本身的理解並沒有幫助。到底 e 是什麼呢？數學中會講，e 是自然對數的底，它的一個總要特點就是 e^x 的導數還是 e^x，同時，e 可以通過下式來表達和計算：
稍微形象一點的表達，就是在複利的計算上，e 表達一個在一段時間內翻倍增長的利率，進行極限的連續複利計算能夠達到的極限值。也就是說，如果年利率是100%，你如果無限細分一年到 n 個時間段，那麼每個時間段的利率為 1/n，而最終你能得到的連本帶利的收入為 e 倍，也就是2.7倍多一些。
這仍然不夠形象，那麼下面映射到 Filecoin 的共識機制來看一看。
Filecoin 預期共識與自然常數的關係
先來複習一下Filecoin白皮書裡面描述的預期共識。在go-filecoin的早期實現中，採用的是簡單的預期共識，也就是說，每一個礦工按照自己的算力與總算力的比來獲得出塊權的概率。因為所有礦工的算力之和等於總算力，所以系統每一輪的總出塊概率的期望值為 1。簡單來說，就是每一輪平均出一個塊，但是，每個礦工獨立計算，因此，每一輪的出塊數可能是各種各樣的。
那麼在這種情況下，我們建立一個簡單（也是有效的）模型來進行一個推演。假設系統中的礦工數為 n，每個礦工的算力佔比為 1/n，那麼，每一輪呢每個礦工的出塊概率為 1/n。
這樣，一輪中出現空塊的概率為：
如果 n 足夠大，那麼，可以求得：
也就是空輪的概率超過三分之一，這個就太高了。
那麼出塊數為 1 的概率有多大呢，可以簡單做如下計算：
仍然只有三分之一多一點。剩下的不到三分之一的概率都是多塊的輪次。這個結論與開發網當時的測試是完全吻合的。
從這裡，我們找到了一個對於自然常數 e 的一個更形象化的解釋，那就是：在一個有很多人（大數）參與的獨立投票選舉中，每個人的贏得選舉的概率相同，同時預期贏得選舉人數為1的情況下，不能得出選舉結果的概率為 e 的倒數，也就是 1/e。
預期共識的實現是一個不斷發現的過程
開發網出現的空塊率過高的情況，我們做了模擬，並與Filecoin研究開發團隊進行了討論。顯然，這麼高的空塊輪次比例是不好的，這是的區塊時間不固定，交易時間預測起來也比較困難。
那麼，一個簡單的改動是什麼呢？那就是增加每一輪的區塊預期數量。因為預期共識本來一輪就可能出現多個區塊，在實現中採用tipset的方式進行組合，那麼增加區塊的預期數量，對於設計實現而言非常簡單。
在測試網之前，Filecoin實現引入了預期每輪區塊數這個概念，這個被定義為 E （ExpectedBlocksPerEpoch）。當前默認：E = 5
既然，預期區塊數提高了，最簡單的方法就是把每個礦工的出塊概率提高5倍。但是，礦工出塊的計算採用擲骰子的方式。也就是產生一個 256 位空間中的一個數，來比較自己的算力佔比，從而判斷是否擁有出塊權。這裡就有一個數據越界的問題。Filecoin的實現在這個判斷上走過三個階段：
階段一：每個礦工按照自己的算力再進行切分，分別按照更小的份額進行選舉，如果贏得選舉就獲得一票。相同默認算力都按照每 25 個 sector來進行統一切分（剩餘部分單獨算）。這個辦法的好處是每一個選舉人算力都基本一樣，進行公平選舉。但是，由於每25個sector都要進行單獨計算，每一個部分都需要I/O訪問，時間消耗較大。Filecoin團隊的最初目的是把這個出塊權和時空證明放在一起。但是，最後從安全的角度來考慮，由於計算相對複雜，還是放棄了。
階段二：直接極致簡化，不考慮越界的問題，直接乘以5進行比較計算。這個是在時空證明已經通過WindowedPoSt替代 SurprisedPoSt的情況下的一個簡化措施。但是，這樣做有兩個問題：1）對於算力大於 20% 的礦工肯定是吃虧的；2）當礦工算力足夠大時，一定能夠贏得選舉。這第二個問題比較嚴重。我們慎重提出，這是一個安全問題，應該改。
階段三：採用密碼抽籤的方式，借鑑Algorand採用的算法。逐漸走向完善。
讓每一個字節都參與投票
Algorand的密碼抽籤是一個非常好的概率分布在選舉上的應用，對於區塊鏈POS網絡而言，非常棒。實現起來比較簡單直接。其具體算法如下：
這裡不做詳細解釋，需要的人可以查詢相關資料。簡單地說，就是在POS選舉過程中，當你憑藉自己產生的可驗證隨機數進行抽籤的時候，可以通過你自己的份額和相應二項式分布來看你落在哪一個區間，從而判斷你獲得了多少選票。
二項式分布是 n 個相同概率的獨立時間單獨計算而後相加的一個分布，而且整個分布正好切分整個概率空間。因此只需要看你的可驗證隨機數在那個空間就可以了（這個部分比較難說清楚，有意者線下探討）。
那麼對於Filecoin而言，參與選舉的份額就是你的算力。如果按照前文中說的階段二的方式，可以再進行細分，那麼可以考慮為每一個字節都參與投票。這樣一來，參與投票的選舉人數量非常大，整個計算不用採用二項式分布，完全可以採用泊松分布來進行計算。泊松分布的計算公式如下：
這裡 λ 是自己的份額與預期總選舉票數的乘積。在Filecoin中，它就是
E * mPow/totPow；k 是獲得選舉權的數量。
看一下上式，是不是很神奇？自然常數 e 再一次用到了 Filecoin 的選舉的計算之中。採用泊松分布進行計算是 Filecoin 的一個改進，非常符合Filecoin的特點，同時計算也非常簡單。
採用密碼抽籤之後，就不能保證每一輪都一定會有礦工拿到出塊權了，這很正常，因為每個人都自己擲骰子，出塊權的計算是獨立的。這樣的話，實際上每一輪贏得不同的出塊選票的概率有多大呢？簡單做一個模擬可以得出下表：
這裡空輪的概率是 e^-5。
也就是說，預期大約不到200個高度就會出現一個空輪。看起來還好。而每輪選票數為 3，4，5，6，7分布較多也比較均勻。選票數高達15張的情況也不少，大概萬分之1.6。
看到這裡（如果你真的有耐心看到這裡），您可能會想，e是不是與概率的關係比較大，其實我可以告訴你，π在有些時候也會用到概率計算之中。因為這兩個常數就是有牽扯不清的關係。
Filecoin中自然常數不僅僅用於選舉
自然常數 e 在選舉之中的使用，至此顯得非常自然，而且也比較優雅。
同時，Filecoin在Token釋放上，也利用 e 進行計算。這個與概率無關，而是與衰減有關。Filecoin 不採用周期性減半的方式進行Token釋放，而是模仿放射性衰減，也就是指數衰減。白皮書設計為6年減半。而一般說來，衰減的公式可以寫為：
上式可以理解為：初始Token為 N0，隨時間推移，系統通過釋放，在 t 時間點系統中還應該保留的Token量N(t)的計算公式。
看這裡，再一次出現了自然常數 e。當然這裡不一定非要用 e 的。但是由於 e 的使用非常廣泛了，用起來方便順手。所以基本上現在這是一種統一的用法。
本文來源： 金色財經 / 作者：IPFS原力區