掌握切線的判定定理與性質定理,輕鬆解決切線的證明與計算

2021-01-11 周老師數學課堂

大家好，歡迎走進周老師數學課堂，每天學習一點點，堅持帶來大改變。今天是2019年3月20日，我分享的內容是切線的證明與計算。

知識點清單

一.切線的性質與切線的判定定理

1.切線性質：①圓的切線垂直於經過切點的半徑。

②經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點.

③經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心.

2.切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。

二.切線的判定定理與切線的性質定理的區別

切線的判定定理是在未知相切而要證明相切的情況下使用；切線的性質定理是在已知相切而要推得一些其他結論時使用，兩者在使用時不要混淆。

三.常用輔助線

①判定切線時「連圓心和直線與圓的公點」或「過圓心作這條直線的垂線」；

②有切線時，常常「遇到切點連圓心得半徑」。

真題求解

例1.如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O切線，CD是垂直於AB的弦，垂足為E，過點C作DA的平行線與AF相交於點F，其中CD=4√3，BE=2。求證：⑴ 四邊形FADC是菱形；⑵ FC是⊙O的切線。

思路分析⑴ 首先連接OC，由垂徑定理，可求得CE的長，又由勾股定理，可求得半徑OC的長，然後由勾股定理求得AD的長，即可得AD=CD，易證得四邊形FADC是平行四邊形，繼而證明四邊形FADC是菱形；

⑵ 首先連接OF，易證得△FCO≌△FAO，繼而可證得FC是⊙O的切線。

解題步驟

證明：⑴連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，CD丄AB，∴CB=DE=1/2CD=1/2×4√3=2√3，設OC=x，∵BE=2，∴OE=x-2，在Rt△OCE中，OC*2=OE*2+CE*2，∴x*2=(x-2)*2+(2√3)*2，解得：x=4，∴OA=OC=4，0E=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD=√AE*2+DE*2=4√3，∴AD=CD，∵AF是⊙O切線，∴AF丄AB，∵CD丄AB，∴AF//CD，∵CF//AD，∴四邊形FADC是平行四邊形，∵AD=CD,∴平行四邊形FADC是菱形；

⑵連結OF，AC，

∵四邊形FADC是菱形，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA，∵AO=CO，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，即∠OCF=∠OAF=90°，即OC丄FC，∵點C在O上，∴FC是⊙O的切線。

例2.已知一個三角形的三邊長分別為5、7、8，則其內切圓的半徑為( )。A.√3/2B.3/2C.√3D.2√3

解析如圖

BC=5，AB=7，AC=8，設內切圓的半徑為R，過點A作AD丄BC於點D，設BD=x，則CD=5-x，由勾股定理得AB*2-BD*2=AC*2-CD*2，即49-x*2=64-(5-x)*2，解得x=1，所以AD=√AB*2-BD*2=4√3，由面積公式可知，1/2BC·AD=1/2(AB+BC+AC)·R，即1/2×5×4√3=1/2(7+5+8)R，解得R=√3。∴答案為C。

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