初中數學圓的三大重點定理你知道嗎?

一、垂徑定理

垂直於弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧。

證明 如a圖，在○O中，DC為直徑，AB是弦，且AB⊥DC交於點E。求證：AE=BE，弧AC=弧BC,弧AD=弧BD。

a 圖

證明： 連接OA、OB。∵OA、OB是○O的半徑 ∴OA=OB ∴△AOB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE,∠AOE=∠BOE（三線合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC

推導定理

推論一:平分弦（不是直徑）的直徑垂直於這條弦，並且平分這條弦所對的兩段弧。

推論二:弦的垂直平分線經過圓心,並且平分這條弦所對的弧。

推論三:平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,並且平分這條弦所對的另一條弧。

推論四:在同圓或者等圓中,兩條平行弦所夾的弧相等。

垂徑定理是圓的重要性質之一，它是證明圓內線段、角相等、垂直關係的重要依據，也為圓中的計算、證明和作圖提供了依據、思路和方法。

二、切線長定理

從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角。

證明 如b圖，已知點P是○O外一點，PA、PB是○O的切線交圓上於點A、B，連接OA、OB。求證：PA=PB,∠APO=∠BPO。

b 圖

證明：∵PA、PB是○O的切線,OA、OB是○O的半徑 ∴OA⊥PA，OB⊥PB。即∠OAP=∠OBP=90° 在Rt△OAP和Rt△OBP中 OA=OB OP為公共邊 ∴Rt△OAP≌Rt△OBP ∴PA=PB,∠APO=∠BPO

切線的性質：(1)切線和圓只有一個公共點；(2)切點和圓心的距離等於圓的半徑；（3）切線垂直於經過切點的半徑；(4)經過圓心垂直於切線的直線必過切點；(5)經過切點垂直於切線的直線必過圓心

三、割線定理

從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等。

如c圖，已知點P為○O外一點，PA、PC為○O的兩條割線，分別交圓上於點A、B和點C、D。求證：PA·PB=PC·PD

c 圖

證明： 連接AD、BC。 ∵∠BAD和∠BCD都是弧BD所對的圓周角 ∴∠BAD=∠BCD（圓周角定理）又∵∠DPA=∠BPC（公共角） ∴△DPA∽△BPC ∴ PA∶PC=PD∶PB 即PA·PB=PC·PD

切割線定理可以看做是割線定理的極限情形，有興趣的同學可以嘗試的去求證哦。（切割線定理：圓的一條切線與一條割線相交於p點，切線交圓於C點，割線交圓於A B兩點 ， 則有PC=PA·PB）

割線定理一般用於求直線段長度。圓的三大重點定理你知道了嗎