你可能也曾「偶遇」的萊洛三角形

2021-02-20 52數學網

圓桌會議指圍繞圓桌舉行的會議,或用方桌但仍擺成圓形。沒有主席位置,亦沒有隨從位置,人人平等。它利用了圓的特性:圓心到圓周上任意一點的距離都是相等的。

圓除了這個特性以外,還有一個特性:即圓在任意方向都有相同的寬度,這就是為什麼井蓋要做成圓的——不管怎麼放,井蓋都不會掉到下水道裡面去。

這種性質叫做定寬性,具備定寬性的曲線叫做「定寬曲線」或「等寬曲線」。許多國家的硬幣就喜歡採用等寬曲線作為外形輪廓,例如英國的 20 便士與 50 便士銀幣採用的就是由 7 條弧組成的定寬曲線。

關於定寬曲線,有一個有趣的故事:

歷史上,美國火箭的發射曾需要經歷這樣一套複雜的流程:在工廠先完成推進器的組裝,然後船運至佛羅裡達州的甘迺迪航天中心進行整體吊裝,最後才能能上發射臺。

於是,問題來了。第二步中,推進器要跋涉千萬裡才能到達組裝地。但在這段旅程內,推進器極易因為自身巨大的重量,導致變形的發生。而對於液體燃料火箭來說,即使是再輕微的形變也可能造成燃料洩漏發生事故。

針對這種情況,為了減少形變發生的可能,火箭截面是否為正圓形就變得極為關鍵。而NASA的技術人員對此也提出了一套檢驗標準:每隔60°測量一次火箭的直徑,如果3次測得的直徑都相等,那火箭的截面即使不是標準的圓形也差不多了。

不過,這套檢驗方法真的有效嗎?很不幸,以萊洛三角形為代表的定寬曲線粉碎了這種美好的想法,讓NASA的專家們感受到了前所未有的尷尬。

下面我們著重介紹除了圓以外,最簡單的定寬曲線——萊洛三角形。以一個等邊三角形的3個頂點為圓心,邊長為半徑,作各內角所對應的圓弧。擦去原來的等邊三角形,剩下的圖形就是萊洛三角形,也叫曲邊三角形或弧三角形。

萊洛三角形是根據一個十九世紀的德國工程師Franz Reuleaux的名字命名的,它有很多意想不到的應用。

1.因為定寬曲線的性質,用萊洛三角形來搬運東西,不會發生上下抖動。

上圖是柏林一家博物館內的定寬曲線滾木。另外定寬曲線還有一個有趣的性質,就是寬度相等的定寬曲線有相同的周長,所以下圖中的圓形滾木轉過一周的時候,旁邊的萊洛三角形滾木也恰好轉過一周。

2.萊洛三角形也能用來做車輪。

不過和圓相比,它的幾何中心是不穩定的,隨著圖形的轉動上下跳動。所以應用最廣泛的還是圓形的車輪。

其實,非圓形的車輪還有這些:

正方形輪胎的自行車

這種軌道的形狀是經過精心設計的「懸鏈線」(即一條鏈子自然懸掛,在重力作用下形成的曲線),正好彌補了正方形車輪中心距離地面的高度大小不均的缺陷。

正方形和正十六邊形輪胎的自行車

3.萊洛三角形形狀的鑽頭可鑽出近似正方形的孔。

另外,可以順便看看三角形的孔是怎麼鑽的:    

4. 萊洛三角形應用在了汽車發動機裡。

馬自達公司的轉子發動機截面圖

5.上海中心大廈的俯視圖也是萊洛三角形。因此,其牆上的圖標、地上的燈柱等都是以萊洛三角形為特點設計。

另外,筆者也曾偶然碰見過不少萊洛三角形的東西,比如糖盒、化妝品盒、石樁、盤子以及塔頂等等。下面是筆者拍的兩張照片,不是很清晰,但能看出形狀。

萊洛三角形的石樁,位於上海某小區

萊洛三角形的塔頂,位於華師大閔行校區

如此神奇的萊洛三角形,其實你可能也曾「偶遇」過。如果忘記了,請擦亮雙眼,留心一下吧。沒聽見它說嗎?——「你見或不見,我就在那裡,不離不棄。」

參考文獻:

1. 車輪一定是圓的嗎?沙國祥.微信號「好玩的數學」

2. 和圓一樣的三角形. Maxwellsdemon.果殼網

3. 百度百科

4. 歷史上的今天

部分圖片來源於網絡。


本期題目:

用加、減、乘、除和括號,將「1989年2月6日」中的4個數:2,6,19,89進行計算,得到23。

上期答案:99-(17-2)×5=24

【「數學史」上的今天】欄目簡介

本欄目以重大歷史事件為線索,介紹數學和數學家的故事,數學與各種文化的關係等。讓學生了解數學發展的脈絡,認識到數學並不是孤立的學科,而是聯繫生活的方方面面的。另外,以歷史事件發生的日期,算變形24點,提高學生的心算能力。

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