遠處有一座大樓，小明想要測量大樓的高度，他想到了一個好辦法：
小明找到一根長度是y1的木棍插在地上，當他趴在 A點時，木棍的頂端正好遮住樓頂，此時他記錄下自己的觀察點到木棍的距離x1 。之後小明又找到另一個長度是y2的木棍，用同樣的方法再觀察一次，這次記錄的數值是 x2。由於測量時存在誤差，因此 x1/y1≠x2/y2，現在小明可以通過相似三角形可以建立起一個有唯一解的方程組：
小明的兩次觀測數據是x1=1.061,y1=1.310,x2=1.094,y2=1.350。為了便於使用計算機計算，小明用矩陣表示方程組：
這相當於把方程組轉換為Ax=b的線性形式，進而求得 x=A-1b：
1 import numpy as np
2 x1, y1 = 1.061, 1.310
3 x2, y2 = 1.094, 1.350
4 A = np.mat(np.array([[-y1, x1], [-y2, x2]]))
5 b = np.mat(np.array([x1 * y1, x2 * y2])).T
6 x = A.I * b
7 print(x)
結果是 x≈58.77,y≈73.87。
幾天後，為了在同學面前炫耀，小明又去測量了一次。因為工具粗糙且視角略有差別，這次的數據是x3=1.143,y3=1.410,x4=0.922,y4=1.140 ，得到的結果是x≈94.85，y≈118.41 ，這可與之前的結果相差很大。於是小明繼續測量，算上前幾天的2組數據，小明一共記錄了8組數據：
這下可壞了，任意兩組數據都能得到唯一解，任意三組數據都無解！怎麼辦呢？
最小二乘法常規的方法無法回答小明的問題，幸好高斯老爺子發現了最小二乘法。最小二乘法（又稱最小平方法）是一種通過最小化誤差的平方和，尋找數據最佳函數匹配的優化策略。
微積分視角由於測量大樓時存在誤差，所以每次計算結果都是大樓高度的近似值，這就導致8次測量的數據實際上構成了一個大型的約等方程組：
現在的問題是，約等方程組不能按照直等方程組的方法求解。對此，我們的解決思路是尋找到一組x 和y ，使得方程組中所有方程的左右兩側都盡最大可能相等。在進一步解釋前，先將約等方程組轉換成熟悉的線性形式：
大樓就在那裡，它的高度是固定不變的。既然每次測量都存在誤差，那麼y的真實值實際上是計算值加誤差：
我們的目標是尋找一組合適的x 和y ，使得所有方程中的誤差都儘可能小，這相當於讓總體的誤差最小：
誤差有正有負，將負號去掉的方式有兩種，取誤差的絕對值或取誤差的平方，顯然平方比絕對值更簡單，因此先將各項取平方後再嘗試找出最小值：
上式就是最小二乘法的公式，其中ai 和 bi是已知的，表示約等方程組中第 個方程的相關係數。如果把 J 展開，就可以直觀地看出它表達的含義：
最小二乘法作為一種策略，並未指出具體的求解方案。由於極值通常出現在臨界點上，所以一種可行的方案是通過尋找臨界點（也就是 J 的偏導等於0的點）求解。
這個看上去有點嚇人的求導其實很簡單：
以展開式的第一項為例：
展開式的每一項都將得到類似的結果，由此我們將得到一個新的方程組：
這裡需要抑制住衝動，方程組中的兩個方程都是和式運算，每一項的ai都不同，因此第一個方程的等式兩側不能除以 ai，即不能使用下式：
現在有兩個方程，兩個未知數，可以求得唯一一組解。
已經知道了ai和bi ，可以計算出方程組的解：
import numpy as npx = np.array([1.061, 1.094, 1.143, 0.922, 1.110, 1.156, 1.123, 1.020])y = np.array([1.310, 1.350, 1.410, 1.140, 1.370, 1.425, 1.385, 1.260])a = y / xb = yp1 = np.sum(a ** 2)p2 = np.sum(a)p3 = np.sum(a * b)q1 = p2q2 = np.sum(b)A = np.mat(np.array([[p1, -p2], [q1, -np.alen(x)]]))b = np.mat(np.array([-p3, -q2])).Tx = A.I * bprint(x)線性代數視角從微積分的視角來看，最小二乘法相當於求解約等方程組，那麼最小二乘法的線性代數視角又是什麼呢？
先來看向量的投影：
b,p,e 是3個向量，其中p是b 在平面上的投影， e是b和p 的誤差向量，e=b-p 。平面可以看作二維向量張成的向量空間，p 在該空間上。將向量投影到向量空間有什麼意義呢？這要從方程 Ax=b 說起。
小明根據測量結果得到了一個方程組，並將它進一步化簡為矩陣的形式：
對於小明的數據來說， Ax=b無解，實際上大多數這種類型的方程都無解。A的列空間的含義是方程組有解時b 的取值空間，當b 不在 A的列空間時，方程無解。具體來說，當A 是行數大於列數的長方矩陣時，意味著方程組中的方程數大於未知數的個數，此時肯定無解。
雖然方程無解，但我們還是希望能夠運算下去，這就需要換個思路——不追求可解，轉而尋找最能接近問題的解。對於無解方程Ax=b 來說，Ax 總是在列空間上（因為列空間本來就是由 Ax確定的，和b 無關），而 b就不一定了，所以需要微調 ，將p 調整至列空間中最接近它的一個，此時Ax=b 變成了：
p就是 b在 A的列空間上的投影， x上加一個小帽子表示x 的估計值。當然，因為方程無解，所以本來也不可能有 Ax=b。此時問題轉換為尋找最好的估計值 ，使它儘可能滿足原方程：
在上圖中，A的秩是2，平面表示A的列空間，平面上的向量有無數個，其中最接近b 的當然是b 在平面上的投影，因為只有在這時 b-p 才能產生模最小的誤差向量。
如何求得估計值呢？
在小明的測量數據中，A的列空間是一個超平面，A的兩個列向量都在這個超平面上，b和p 的誤差向量e垂直於超平面，因此e也垂直於超平面上的所有向量，這意味著e 和 A的兩個列向量的點積為0。
將二者歸納為一個矩陣方程：
矩陣方程已經去掉了關於 的信息，通過該方程可進一步求得估計值：
這就是最終結果了，它是由矩陣方程推導而來的，所以這個結果叫做「正規方程」。
還有一種更簡單的方式可以得到正規方程。Ax=b無解的原因是因為 A 是一個長方矩陣，只要在等式兩側同時乘以 AT，就可以把長方矩陣轉換成方陣，進而求解。
import numpy as npx = np.array([1.061, 1.094, 1.143, 0.922, 1.110, 1.156, 1.123, 1.020])y = np.array([1.310, 1.350, 1.410, 1.140, 1.370, 1.425, 1.385, 1.260])a1 = -(y / x)a2 = np.array([1] * 8)A = np.mat(np.array([a1, a2])).Tb = np.mat(y).Tx = (A.T * A).I * A.T * bprint(x)概率統計的視角在實際應用中，我們把 J函數稱為「平方差損失函數」或「平方損失函數」，通過名字自然地聯想到概率統計中方差的概念。作為衡量實際問題的數字特徵，方差有代表了問題的波動性，這裡如何理解「波動性」呢？
大樓就在哪裡，它的高度是一個真實值，假設這個值是100。接下來為了便於說明，我們把問題簡單化，假設小明只需要一次測量就可以計算出大樓的高度。
表中計算結果與真實值的差就是每次計算結果與真實值的波動，把每次波動累加起來就是整體的波動，也就是問題的「波動性」。由於每次波動都有正有負，如果直接相加的話會正負抵消，得到波動性是0的結論，這顯然是荒謬的。解決這個問題的一個方法是每次波動都取絕對值，另一個方法是取波動的平方，平方不用考慮符號的問題，因此比絕對值更簡單。
現在可以計算出小明8次計算的總體波動和平均波動：
相比較而言，第3次、第5次、第6次計算結果的平均波動較小，看起來似乎應該只取這3次的測量結果。問題是，小明並不知道哪些結果是波動較小的。此外，根據「大樣本理論（large sample theory）」，在大樣本下，只要研究數據的漸進分布即可。簡單地說，只有當測量數據達到一定規模時才能得到較為正確的結果，數據越多會越好。比如桌球比賽偶爾會出現「爆冷」的場景，某個成績平平的外國選手戰勝了中國的頂尖選手，但你並不能因此說這名外國選手的實力更強，只能說在本次比賽中二者的波動都較大，外國選手打出了太多的「超級球」，而中國選手正好不在狀態；當二者的交手逐漸增多時，他們的平均波動也將趨近於各自的真實實力，中國選手自然會找回場子。
回到原問題，從概率統計的視角來看，最小二乘法的意義是讓所有樣本波動之和最小化：
如果在平方和基礎上除以測量的次數，則變成了讓樣本的平均波動最小：
最小二乘法與線性回歸回歸（Regression）是一類重要的監督學習算法，其目標是通過訓練樣本的學習，得到從樣本特徵到目標值之間的映射。在回歸中，樣本的標籤是連續值。線性回歸（Linear Regression）是回歸問題中的重要一類。在線性回歸中，樣本特徵與目標值之間是線性相關的。
回歸的重要應用是預測，比如根據人的身高、性別、體重等特徵預測鞋子的尺碼；根據學歷、專業、工作經驗等特徵預測薪資待遇；根據房屋的面積、樓層、戶型等特徵預測房屋的價格。
一元線性回歸只有一個特徵的線性回歸問題稱為一元線性回歸，其擬合曲線是一條直線，它的假設函數(hypothesis function)是：
我們的目標是根據給定的訓練樣本找出合適的模型參數，使假設函數變成明確的模型，從而使得該模型與訓練樣本達到最大的擬合度。
可以使用最小二乘法作為一元線性回歸的學習策略：
在機器學習中J稱為損失函數（cost function），這裡m 是訓練樣本的個數，y 表示樣本的標籤，也就是真實結果。乘以1/m 的目的是為了使損失值不至於變得過大，以便更地直觀感受到模型的優劣。最小化損失函數的幾何意義是所有樣本到直線的函數距離最小化：
這裡 x和y是已知的，而θ1和θ2才是未知的，雖然這裡與小明在測量大樓時的公式有所不同，但是讓整體誤差到達最小的道理是一樣的。推導時需要對θ1和θ2求偏導，當m=1 時：
在求偏導時出現了係數2，為了約掉這個係數，通常在損失函數中除以2：
由此得到新的偏導：
推廣到 m個數據集：
令每個偏導的值都等於0，便得到了一個二元一次方程組，從而求得具體的模型參數。
多元線性回歸我們比較熟悉的概念是二維平面和三維空間，有人說四維包含了時間、五維包含了靈魂……別信他的！空間的每一個維度都可以代表任意事物，這完全取決於你對每一個維度的定義。多維空間只是個概念，不要試圖在平面上通過幾何的方式描述四維以及四維以上的空間。
實際上多維空間很常見，關係型資料庫的表就可以看作一個多維空間，表的每個欄位代表了空間的一個維度，下面就是一個十維空間的例子。
可以看到，維度的內容不僅僅包含數量，同樣可以包含文字，只是為了能夠計算，需要制定一些規則將文字轉換成數字。
在真實的世界中，訓練樣本的特徵可能是成千上萬維，多元線性回歸通過一個超平面來擬合數據。不要試圖畫出超平面，實際上連四維空間都沒法有效地展示。畫不出來沒關係，能表達就好了，n維空間的超平面可以寫成：
如果用向量表示：
這就又變成了我們熟悉的直線方程。如果令 x0=1，可以更進一步簡化 ：
在多元線性回歸中，我們依然使用最小二乘法的策略：
最終將求得：