摘要：眾所周知，喵星人是與人類（鏟屎官）關係十分密切的動物（主子），人喵共存的歷史據說可以追溯到10,000年以前。貓咪不僅是人類親密的朋友，有時甚至被當做神膜拜。貓腦內中樞神經與平衡和運動相關的部分相當發達，以至於不少地區都有「貓有九條命」的說法。本文基於經典力學原理，結合詹姆斯·克拉克·麥克斯韋早年的研究思路，創造性地利用貓動力學，科學解釋了喵星人高空落地時姿態的成因，同時為人類對此現象的和平利用提供了思路。
關鍵詞：喵星人 角動量 貓動力學 經典力學
1
引言
作為一種在世界範圍內廣受歡迎的活動，人類擼貓可以追溯到10,000年以前[1]。分類學上，貓（學名：Felis silvestris catus）通常指家貓，為小型貓科動物，是野貓（Felis silvestris）中的亞種[2]。貓咪在不少地方被視為神明（及主子），據說可以為人們帶來財富和好運。
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人與喵星人之間的親密關係是人與動物和諧相處的最佳典範~
此外，由於貓咪腦內中樞神經有關平衡與運動部分的神經相當發達，所以從離地八九米高度的地方墜落往往還可以安全著地，所以在不少地方都有「貓有九條命」的說法。
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關於貓咪到底有多少條命，似乎世界範圍內並沒有定論。在大多數國家，人們相信貓咪有九條命，但在義大利、德國、希臘、巴西和不少講西班牙語的地區[3,4]，貓咪就只有七條命了。更有甚者，在土耳其等阿拉伯地區，貓咪被認為只有六條命[5]。
2
貓動力學研究：麥克斯韋的早期工作
由於貓咪身上眾多不可思議的特性，人們對於貓咪的研究在很早之前就已經展開。而經典力學的創立，為研究貓提供了科學的工具。
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人們對於貓有九條命的一種解釋
說起對於貓咪的研究，麥克斯韋可以算得上是先驅。1879 年11 月，著名物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋逝世。4 個月後，蘇格蘭物理學家彼得·格思裡·泰特（P. G. Tait，他是麥克斯韋的髮小）在Nature雜誌上撰文，熱情稱頌了麥克斯韋的成就。
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詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（1831~1879），蘇格蘭數學物理學家。麥克斯韋被普遍認為是十九世紀物理學家中對後世影響最大的一位。他的理論為狹義相對論和量子力學打下了基礎，是現代物理學的先聲。在麥克斯韋百年誕辰時，愛因斯坦盛讚了麥克斯韋的工作，稱其為「自牛頓時代以來的一次最深刻、最富有成效的變革」。
P. G. Tait. Clerk Maxwell’s Scientific Work. [M] //Sir John Maddox，Sir Philip Campbell，路甬祥. 《自然》百年科學經典第一卷（修訂版）精裝本. 北京：外語教學與研究出版社，2015：512-531.
不過就在這篇文章裡，泰特提到了麥克斯韋在讀大學時的一樁趣事——
「
麥克斯韋在讀本科期間做了一個實驗，雖然從某種程度上說這是一個生理學實驗，但是它也和物理學密切相關。實驗的目的是解釋為什麼貓在落地的時候總是能保持腳先著地。實驗中他把貓輕輕地拋到毯子上，拋擲時，讓貓具有不同的初始轉動。麥克斯韋得到了滿意的結果：貓在空中的時候，本能地利用了角動量守恆。如果給它的初始轉動過快，它就會把身體伸展開，避免頭先著地；相反地，如果給它的初始轉動過慢，它就會縮成一團，最後總是能避免頭先著地。[6]
」
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懂角動量守恆的喵星人
VS
不懂角動量守恆的地球人
雖然麥克斯韋已經對於喵下落時的運動姿態做了提綱挈領式的詮釋，但在筆者看來畢竟語焉不詳（不然這篇推文豈不是毫無卵用了）。因此，筆者擬從基本的物理學原理出發，通過儘可能少的數學推導（反正讀者老爺們也不願意看），重新解釋喵星人下落的基本原理。
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3
二維空間中貓咪的轉動
為了研究貓咪的運動，有必要引入「質心」的概念（尤其是考慮到喵星人不會靜靜地等著任人擺弄……）。
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好奇心爆棚的喵星人
首先，讓我們回憶一下初中的物理知識——牛頓第二定律——「物體加速度的大小跟作用力成正比，跟物體的質量成反比」（即 F = am）。這裡我們假設貓咪是由無數個微小的貓咪粒子（簡稱「喵子」）構成的，每個粒子的運動速度遠遠小於光速，所以符合經典力學的一般原理。那麼我們可以用i來表示第i個「喵子」，Fi 表示第i個「喵子」的受力，mi 表示其質量，ri表示其位移。根據牛頓第二定律，可知，
而此時貓咪受到的合力，即所有「喵子」受力的總和，
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「喵子」的表現形式
（感謝羅小黑的傾情演繹）
這裡我們用一個小技巧，定義一個矢量R，如下
那麼上面的合力F就可以寫成
這樣我們就把由無數個「喵子」組成的小貓咪等效成了一個點，這也就是所謂的「質心」。除了質心以外，我們還要引入另一個設定，即喵星人是「剛體」。剛體是一種不存在的理想物體，其原子間的作用力很強，以至於一般的外力不會使之發生形變。
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眾所周知，貓是一種具有液體形態的生物，所以「剛體」的假設本身有悖於實際情況。然而，如果引入「貓是液體」這一假設，又會使得我們不得不引入流體力學，這將讓問題過於複雜。所以考慮到本文主要討論喵星人下落時的姿態，忽略其流體的性質而假設其為剛體是一種合乎情理的折中。
有了「質心」和「剛體」兩條假設，後面的問題就可以利用中學的數學知識加以解釋了。
假設貓咪一躍而起，在某一時刻到達P點，經過極短的時間來到Q點。由P到Q，貓咪轉過的角度為Δθ。事實上我們發現，我們可以很輕易地將角度的變化與坐標的變化聯繫起來，
（這裡有一個知識點，PQ的長度在Δθ極小的情況下可以近似地用 r·sinΔθ求得，而 r·sinΔθ又可以近似為 r·Δθ。思考題：為什麼？）
提示：這裡要用到夾逼定理，也就是所謂的Sandwich theorem（肉夾饃定理）。
利用勾股定理，易得
接下來我們可以定義角速度ω和角加速度α，
顯然，貓咪的速度也可以用角速度來表示，例如
即
同理
這樣我們就可以求得貓咪線速度與角速度之間的關係，
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要確定質心的位置，一個常用的技巧是帕普斯定理，即「平面閉合曲線繞曲線外但在同一平面內的軸轉動一周，則轉出來的形體體積等於閉合曲線面積乘以其質心所經過的圓周」。
上述結論充分說明，貓咪轉動的角速度，與貓咪的線速度沒有本質上的區別。自然而然地，這段時間貓咪做的功為，
事實上，在受力情況複雜的情景（譬如這裡討論的喵星人）中，我們仍然可以提取公因式Δθ，那麼後面括號裡的項就很值得關注了。我們定義
為力矩，那麼物體每一部分（如「喵子」）的力矩就可以定義為
而物體總力矩就是每一部分力矩的和，
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總力矩等於每一部分力矩的和
（再次感謝羅小黑的直觀演繹）
4
角動量守恆
根據麥克斯韋的研究，「貓在空中的時候，本能地利用了角動量守恆」。所以，定義角動量就顯得極為關鍵。關於角動量的定義，可以參照動量。這裡我們觀察前述有關力矩的表達式，可知
而顯而易見，我們可以用另一種方式來表達力矩，
考慮到實際上正是由於力矩的存在，所以物體才產生了轉動，所以比照動量，我們定義角動量L
自然而然地，力矩與角動量存在以下關係，
可以想像，與某一系統相關的力矩有很多，但無外乎是來自系統內的力矩和來自系統外的力矩。系統內的力矩由於牛頓第三定律而成對地消失，所以最終產生角動量的力矩必定是源自系統外的。這也就是所謂的角動量守恆：如果一個質點系統不受外力矩作用，其角動量不變。
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湯姆在空中翻滾的過程中，角動量是守恆的。不過考慮到一開始湯姆是躺著不動的，所以如果研究整個過程，湯姆的旋轉還是由於傑瑞的力產生的外力矩。
5
三維空間中貓咪的轉動
一般的喵星人並不是生活在二次元的生物，而研究三次元世界中的喵星人則需要討論三維空間。
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不過在三維空間中的結論，與前述二維空間的情況類似。我們將三維空間中的力矩分解，得到
一個自然而然的想法是，可以用矢量重寫上述結論。令
我們有
換言之，
同理
右手法則示意圖
值得一提的是，由於力矩是通過位置矢量與力的叉乘形成的，所以力矩的方向與位置矢量和力所張成的平面垂直，方向滿足右手法則。上述特點也適用於角動量。像這樣由叉乘定義的矢量也被稱作贗矢量。
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一秒鐘學會右手螺旋定則
毫不意外地，我們可以得到角動量與力矩之間的關係，即
也就是說，作用於某一物體的力矩，決定了此物體角動量的變化率。
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小編似乎已經腦補出來讀者老爺們的內心OS~
《自然》雜誌於1894年報導了法國科學家馬雷（tienne-Jules Marey）用自製計時槍所拍攝的喵星人下落的高速攝影圖片。由此我們可以更加直觀地了解貓咪在空中的姿態。
Photographs of a Tumbling Cat. Nature 51, 80–81 (1894) doi:10.1038/051080a0.
圖片順序：從右到左
喵星人下落過程示意圖。喵咪下落的過程中身體前後兩部分本能地旋轉，產生兩個角動量；同時身體作為一個整體也會旋轉並產生一個角動量。三個角動量的矢量和為零，即喵咪的運動遵循了角動量守恆。
6
應用
文章的最後，我們簡單討論一下上述研究的應用。
黃油貓悖論（Buttered cat paradox）
已知：
貓在半空中跳下，永遠用腳著陸。把黃油吐司拋到半空中，吐司永遠在塗上黃油的一面落地。結論：
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在太空中讓喵星人的角動量不變其實非常容易實現。但在地球上由於重力的作用，事情就變得複雜起來。所以這時就要藉助黃油吐司的力量。依照上述兩條已知條件，一旦把黃油吐司沒有塗上黃油的一面黏著貓的背部，貓將無法用腳著陸，因為黃油吐司永遠在塗上黃油的一面落地；但同樣的，黃油吐司塗上黃油的一面無法落地，因為貓永遠用腳著陸。
不過筆者並不建議大家在家中實施上述實驗，畢竟——
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參考文獻
[1] Driscoll, Carlos A.; Juliet Clutton-Brock; Andrew C. Kitchener; and Stephen J. O'Brien. 2009. "The Taming of the Cat." Scientific American 300, (6): 68-75.
[2] Driscoll CA, Macdonald DW, O'Brien SJ, CA. In the Light of Evolution III: Two Centuries of Darwin Sackler Colloquium: From wild animals to domestic pets, an evolutionary view of domestication. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. June 2009, 106 (S1): 9971–9978.
[3] Sugobono, Nora. "Las vidas del gato". El Comercio. Lima, Peru. Archived from the original on 27 January 2012.
[4] "Qual é a origem da lenda de que os gatos teriam sete vidas?". Mundo Estranho. So Paulo, Brazil: Abril Media. Archived from the original on 17 November 2015.
[5] Dowling, Tim. "Tall tails: Pet myths busted". The Guardian. Archived from the original on 9 September 2013.
[6] P. G. Tait. Clerk Maxwell’s Scientific Work. [M] //Sir John Maddox，Sir Philip Campbell，路甬祥. 《自然》百年科學經典第一卷（修訂版）精裝本. 北京：外語教學與研究出版社，2015：512-531.
文章部分內容節選自《〈自然〉百年科學經典》
英漢雙語對照版《〈自然〉百年科學經典》是外研社聯合施普林格·自然集團策劃編輯的科學主題叢書，收錄並翻譯了《自然》雜誌自1869年創刊以來近150年間發表過的800餘篇經典文獻，再現了一個多世紀以來人類在自然科學領域艱辛跋涉、不斷探索的歷史足跡，堪稱一部鮮活的近代科學史詩。全系列採用雙語對照的形式，譯文都是國內各領域資深的學界大咖把關審核，保質保量。每篇文章都有《自然》雜誌資深編輯撰寫的專業導讀，使中國讀者在領略文章原貌的同時，更加便於閱讀不同專業領域的文獻，促進不同專業領域之間的學術交流。
編輯：赤色彗星