為了研究宇宙中最大的數字是什麼，科學家最後進了精神病院

這是一個只有數學可以描述的世界，大到令人難以置信的數讓這個世界沒有偶然，但任何奇蹟都可能發生：離開宇宙，與另一個自己擦身而過，遇見比無窮還要大的無窮。

開始之前，先為大家簡單介紹一下何謂大數。

人們喜歡用簡略方式記錄重複的東西。比如，2×2×2×2（總共四個2）也可寫成2^4（讀作「二的四次方」）。而2^20（即1048576），比起寫成2×2×2×2……（二十個2）顯然要簡單得多！如果把2換成10，簡寫的優勢就更明顯了，因為我們只需要數數有幾個0就可以了。比如，10×10就是100或10^2……

換言之，上面的小數字（被稱為「指數」）表示1後面的0的個數。一百萬，即1000000，可簡單地寫成10^6。

10的乘方還可以簡化運算。相乘時將指數相加，如：1000×1000000=10^3×10^6 =10^6+3=10^9(即十億)。相除時將指數相減：1000000÷1000=10^6－3=10^3。因此在探索大數世界時，10的乘方不可或缺。

它們無處不在，但我們卻看不到

在一個美麗的夜晚，抬頭仰望星空……哇！今晚的星星好多，數都數不清。然而，在地球上用肉眼可以看見的星星僅僅只有8768顆而已。

而且，我們通常只能看見其中的一半（其他的均在地平線以下）。這就意味著只要有足夠的耐心，不到4000秒，即一個小時多一點，你就能數清所有這些星星！

驚訝嗎？這很正常。因為我們的大腦對大數並不怎麼在行，當它說「大數」的時候，其實屬於詞語濫用。大腦能一眼看出的數量只有1、2、3和4。超過4，大腦就會死機並宣布「有很多」！如果桌上凌亂地放著五個蘋果，幾乎可以肯定的是，你將不得不一個一個地數，以弄清楚它們的數量。

惱火吧？但事實就是如此。這就是骰子的最「大」點數「五」（4+1）和「六」（2×3）按現在方式排列的原因：便於一眼識別。

這也是為什麼在寫（很）大數時，我們習慣於三個數字一組：數字1453214在你看來毫無意義，但如果寫成1 453 214，你立刻知道這個數字是百萬級。識別大數需要創意！

你可以比較本頁中所呈現的各個量。你會知道為什麼在九宮棋遊戲中獲勝並不需要太多的智慧：在九格棋盤上，隨意放×或○並獲勝的概率並不小。相反，同樣的策略在魔方遊戲中不會很見效，因為魔方的變化要比九格棋盤的變化多得多。

你也將明白為什麼西洋棋冠軍被認為是天才。很簡單，因為他們在眾多的可能中找到了通往勝利的路徑……因為如果每次都有「很多」可能的路徑，這些「很多」中的一些顯然比其他擁有更大的可能！

大數定律

全人類質量僅佔地球生物總質量的四千分之一，或地球總質量的十六萬億分之一。以太陽為起點，將50億個地球排成直線，可抵達離太陽最近的恆星。然而，這個範圍僅為整個銀河系的十萬分之一。

而可見宇宙中（有數百億億個銀河系那麼大）類似銀河系的星系有數百億之多。天啊，為什麼人類如此渺小？為什麼宇宙中的一切都比我們要龐大得多？

在回答上述問題之前，先來看看什麼是偶然性。

以拋硬幣猜正反為例，如果拋的次數有限（不到20次），想猜對很難，如果拋的次數很多，想猜錯卻不容易。這就是數學家們所謂的「大數定律」：如果拋1000次，可以肯定結果為正面和反面的次數將非常非常接近！

把一枚沒有動過手腳的硬幣拋若干次，得到的「正面（F）」和「反面（P）」的數量會一樣多嗎？不一定。我們將所有可能性序列以樹形圖的形式呈現。

結論：如果一個宇宙由完全隨機運動的元素構成，要想預測這個宇宙的運行方式，除非它所涉及的元素有很多很多……

但大數定律還有另一「面」，稱為李特爾伍德奇蹟定理。

這位英國數學家曾說過：「如果你每個月觀察100萬個事件，而奇蹟指的是只有百萬分之一的可能會發生的事件，那麼你每個月都能等到奇蹟發生。」說得通，不是嗎？

舉個例子，在拋硬幣猜正反時，接連拋出20個反面的概率只有百萬分之一，但是，如果在一個200萬人口的城市裡，所有居民同時玩這個遊戲，這樣的奇蹟就有97.8%的可能發生在某一個人身上！

結論：大數不僅能使偶然變得可預見，還可以使奇蹟的發生成為必然！

這就像買彩票：即使贏面極小，只要有足夠多的人參與，必然有一個人能中獎。另外，你知道嗎？汽車發動機的運轉和生命的進化也都是基於這一原理。

大數讓氣球變得平滑，使發動機得以運轉。活塞不過是一種過濾器：它只將那些朝著選定方向運動的少數分子的運動傳遞給外界。

一些有趣的事情（如生命的出現）只有在宇宙變得非常大（而且非常老）之後才會在某些地方發生這一事實表明，這些有趣的事情其實是偶然的產物！

無數的自己！

多少只猴子隨機在打字機鍵盤上按鍵，可使得其中一隻必然打出一本類似《哈利·波特》的書？答案是10^369020。

這個數字有多大呢？形象地說，1及其後面的369020個0足以填滿本期《新發現》（經過慎重考慮，我們決定放棄）。

明白了吧？那麼準備好了，因為與我們現在要說的數字相比，這簡直是小巫見大巫！

以10^10^29 為例。完整寫出這個數字需要在1後面加10^29，即10萬億億億個0。這次可填滿的《新發現》雜誌足以橫跨整個可見宇宙！我們之所以介紹這個數字是因為它代表一段距離，在這段距離之外，另一個你自己正在讀這本雜誌……

你一定覺得不可思議：這樣的事情怎麼可能會發生呢？

我們的思路其實很簡單：將地球看作一個由大自然樂高積木零件（構成物質的質子、神經元和其他粒子）拼裝而成的很大很大的量，在無限的宇宙中，如果我們走得足夠遠，或許會有一個地方和我們這兒一樣（由同樣的零件以幾乎同樣的方式拼裝起來）。

也就是說，可能還存在另一個地球，包括它的所有居民！而在一些天體物理學家看來，在半徑為10^10^29 米的範圍內至少會有一個這樣的地球副本存在。

實際上，這個數字是如此之大，以至於是用微米還是百萬光年來表示都無所謂：1後面總是跟著無數個0！因為旅途實在遙遠，所以當從這些地球副本發出的光自宇宙的另一端到達地球時，目前已知的所有恆星和星系都已經消失很久了。所以這一幕永遠都不會出現！

不過，如果宇宙是無限的，那麼在宇宙某處，肯定會有你的無數個分身，而且還會無限地反覆出現！有沒有被嚇到？但還有更厲害的。

比如數字10^10^10^120 ，與上一個數字一樣，它所表示的時間跨度長到用什麼單位都沒關係。不管是微秒還是百萬年，1後面都得加上差不多10^10^120個0（差幾萬個0已經無所謂了）。而這個數字所能填滿的《新發現》雜誌的長度，將遠遠超出離我們最近的另一個地球的位置！

以棋牌遊戲為例，從一副 52 張牌中抽出前 4 張，接著將這4 張牌放回並徹底洗牌，然後重新開始……方片 A 必定會在某個時刻被抽出。如果繼續，方片 A 還會一次又一次地出現。而我們的宇宙不是由52張牌而是由10^100 個粒子構成，那麼在 10^10^10^120這個數量級的宇宙之後，一切將重演。

難以想像？那麼換個方式：如果你能等待這麼長的時間，你將見到構成我們的可見宇宙的大約10^100個粒子以幾乎同樣的方式再次呈現，比如今天早晨你吃早餐的情景。也就是說，10^10^10^120 秒（或年，無所謂）後，宇宙歷史將重演！

當然，這只是理論而已，根據自然法則，數到10^10^10^120 是不可能的。整個由物質構成的計數體系，不管是鐘錶、電腦或是你的大腦（一個閒著沒事幹且極其固執的副本），在尚未完成工作時就會崩潰並最終分解成粒子，這些粒子將在片刻後恢復原狀，然後重新從0開始計數！

事實上，物理定律能否維持這麼長的時間也還是個未知數，或許這個永恆輪迴的故事只是異想天開而已。但這個故事的寓意在於，只要數量（距離或時間）足夠龐大，你就可以擁有一大批分身，何論無窮！好吧，既然已經說到了無窮，我們沒有可能走得更遠吧？你錯了：等著吧，還有比無窮更大的呢。

令人瘋狂的數字

實驗表明，沒有比無窮更大的數字了。例如無窮加上一還是無窮，不是嗎？

然而，更加匪夷所思的事情還在後頭呢。一切始於20世紀初，當一位名為格奧爾格·康託爾（Georg Cantor）的德國數學家決定將無窮當作一個和其他數字一樣的數字來看時。

其推理如下。如果按照1、2、3、4、5……的順序一直數到「盡頭」，最後將數到無窮數（用ω表示）。那麼問題來了：能否找到一個比ω更大的數字呢？

正如前文所說，這個問題看起來有點傻。康託爾的一個仰慕者，數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）還專門創作了一則名為無窮旅館的有趣的小故事來說明ω是一個多麼古怪的「數字」。

但康託爾不為所動，他的第二個問題來了：偶數有多少個？答案，無窮，即ω。然而，這個ω僅僅相當於所有整數的一半而已，另外一半則是奇數，不是嗎？

所以，偶數的無窮數應該比整數的無窮數少一半。康託爾立刻發現不對。實際上，每個偶數都可以與另一個整數的兩倍相對應，比如2是第1個偶數，4是第2個偶數，6是第3個偶數，8是第4個偶數，依次類推。最後我們發現可以用整數給每個偶數編號，也就是說偶數和整數的數量一樣多！

這就是有趣的無窮數法則：ω（偶數）+ω（奇數）= ω（所有整數的總和）！

康託爾的思考繼續進行：1和2之間還有無窮個像1.33333……或1.666666……這樣的數字。2和3之間，3和4之間，4和5之間，也一樣。那麼所有這些數字的總數應為數字的無窮乘以區間的無窮，即ω×ω，這就意味著比整數的數量明顯要多，不是嗎？

並不是。像2.438438……這樣的無限循環小數被稱為「有理數」，因為它們全部成「比例」，如5/3（1.66666……）或812/333（正好是2.438438438……）。經過一番推理，康託爾發現有理數的數量和整數的數量完全一樣。所以：ω×ω=ω!

康託爾最終在「實數」領域撞上了大運。實數指所有可能的數字，包括整數、有理數以及無限不循環小數，後者比如π等於3.141592653……小數點後面的數字無限不循環（只能被一個接一個地計算出來，目前的記錄是小數點後10^13，即10萬億位。）

關於實數，康託爾有兩點貢獻。首先，他指出實數的數量比整數的數量更多。然後，他證明實數的無窮數是2^ω（2×2×2×2……直到無窮）。這個論證很巧妙，但原理很簡單。

以一個包含三個球（紅、藍、綠）的集合為例，三個球的組合方式是有限的：無、單個藍、紅或綠，紅和藍，藍和綠，紅和綠，三個一起。總共有8種可能，因為對於每個球而言都存在兩種可能（要麼在組合內，要麼不在），那麼2×2×2=23=8種可能。

包含n個元素的集合的組合數為2^n個，所有整數的組合數則為2^ω個。而實數正是整數的各種組合（比如，π可被認為是3與141、5926、53等的組合），那麼實數的數量就是2^ω個。

結論？即使ω+1= ω+ω=ω×ω=ω成立，換句話說，就算與無窮數相關的任何運算的結果還是無窮，2^ω（讀作2的ω次方或2的無窮次方）仍然是一個比ω更大的無窮數！

在無窮數之後，康託爾還發現了κ0——讀作「阿列夫（希伯來字母表第一個字母）零」——後面還有κ1、 κ2、κ3等。這一連串數字被稱為「超窮」數，用來表示無窮集合的勢（大小）：可數集（包括自然數）的勢標記為κ0，下一個較大的勢為κ1，再下一個是κ2，依次類推……

也就是說，下一個總是比上一個更加無窮，這簡直讓人發瘋，不是嗎？康託爾最後不幸地進了精神病院。

不過，一個剛開始只能數到4的大腦能走到這個地步已經算是很不錯了！

撰稿 René Cuillierier

編譯 吳會敏