回歸方程殘差的方差 - CSDN

2021-01-19 CSDN技術社區

1、殘差分析定義

在回歸模型 中，假定 的期望值為0，方差相等且服從正態分布的一個隨機變量。但是，若關於的假定不成立，此時所做的檢驗以及估計和預測也許站不住腳。確定有關的假定是否成立的方法之一是進行殘差分析（residual analysis）.

2、殘差與殘差圖

殘差（residual）是因變量的觀測值與根據估計的回歸方程求出的預測  之差，用e表示。反映了用估計的回歸方程去預測而引起的誤差。第i個觀察值的殘差為： 

常用殘差圖：有關x殘差圖，有關的殘差圖，標準化殘差圖

有關x殘差圖：用橫軸表示自變量x的值，縱軸表示對應殘差 ，每個x的值與對應的殘差用圖上的一個點來表示。

分析殘差圖，首先考察殘差圖的形態及其反映的信息。

分析：

（a）對所有x值，的方差都相同，且描述變量x和y之間的回歸模型是合理的，殘差圖中的所有點落在一條水平帶中間。

（b）對所有的值，的方差是不同的，對於較大的x值，相應的殘差也較大，違背了的方差相等的假設

（c）表明所選的回歸模型不合理，應考慮曲線回歸或多元回歸模型。

3、標準化殘差

對於正態性假定的檢驗，也可通過標準化殘差分析完成。

標準化殘差（standardized residual）是殘差除以其標準差後得到的數值，也稱Pearson殘差或半學生化殘差（semi-studentized residuals）,用表示。第i個觀察值的標準化殘差為：   (是殘差的標準差的估計)

如果誤差項  服從正態分布的這一假定成立，則標準化殘差的分布也服從正態分布。大約有95%的標準化殘差在 -2~2 之間。

從圖中可以看出，除了箭頭所標識的點外，所有的標準化殘差都在 -2~2 之間，所以誤差項服從正態分布的假定成立。

 

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