經典拓撲學教程:《一般拓撲學》

2021-01-14 哆嗒數學網

本書的原著作者是凱萊（J L Kelly），這裡提供的是它的中文版。


本書是關於一般拓撲的一部經典著作，書中系統介紹了一般拓撲的基本知識。正文共分7章，包括拓撲空間、Moore-Smith收斂、乘積空間和商空間、嵌入和度量化、緊空間、一致空間、函數空間。此外，還有一章預備知識和一個附錄。每章之後有大量問題，作為正文的補充和延伸，有助於讀者更好地理解正文的內容。書末由譯者加寫了一個附錄，介紹了近期拓撲學發展的概貌。


目錄


第0章 預備知識

0.1 集

0.2 子集與餘集；並與交

0.3 關係

0.4 函數

0.5 序

0.6 代數概念

0.7 實數

0.8 可數集

0.9 基數

0.10 序數

0.11 笛卡兒乘積

0.12 Hausdorff極大原理

第1章 拓撲空間

1.1 拓撲和鄰域

1.2 閉集

1.3 聚點

1.4 閉包

1.5 內部和邊界

1.6 基和子基

1.7 相對化；分離性

1.8 連通集

問題

第2章 Moore-Smith收斂

2.1 引論

2.2 有向集和網

2.3 子網和聚點

2.4 序列和子序列

2.5* 收斂類

問題

第3章 乘積空間和商空間

3.1 連續函數

3.2 乘積空間

3.3 商空間

問題

第4章 嵌入和度量化

4.1 連續函數的存在

4.2 嵌入到立方體內

4.3 度量和偽度量空間

4.4 度量化

問題

第5章 緊空間

5.1 等價性

5.2 緊性和分離性

5.3 緊空間的乘積

5.4 局部緊空間

5.5 商空間

5.6 緊擴張

5.7 Lebesgue覆蓋引理

5.8* 仿緊性

問題

第6章 一致空間

6.1 一致結構和一致拓撲

6.2 一致連續性；乘積一致結構

6.3 度量化

6.4 完備性

6.5 完備擴張

6.6 緊空間

6.7 度量空間特有的性質

問題

第7章 函數空間

7.1 點式收斂

7.2 緊開拓撲和聯合連續性

7.3 一致收斂

7.4 在緊集上的一致收斂

7.5 緊性和同等連續性

7.6* 齊-連續性

問題

參考文獻

附錄A 初等集論

A.1 分類公理圖式

A.2 分類公理圖式（續）

A.3 類的初等代數

A.4 集的存在性

A.5 序偶：關係

A.6 函數

A.7 良序

A.8 序數

A.9 整數

A.10 選擇公理

A.11 基數

附錄B 譯者為本書增添的附錄

B.1 不分明拓撲學介紹

B.2 不分明集與不分明點

B.3 不分明拓撲空間

B.4 緊不分明拓撲空間

B.5 不分明連續函數

B.6 乘積與商不分明拓撲空間

B.7 不分明網的Moore-Smith收斂


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相關焦點

  • 拓撲學原理
    在點集論的思想影響下，分析學中出現了泛函（即函數的函數）的觀念，把函數集看成一種幾何對象並討論其中的極限。這終於導致抽象空間的觀念。最早研究抽象空間的是M.-R.弗雷歇。他在1906年引進了度量空間的概念。F.豪斯多夫在《集論大綱》（1914）中用開鄰域定義了比較一般的拓撲空間，標誌著用公理化方法研究連續性的一般拓撲學的產生。
  • 拓撲學
    拓撲學(topology)是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。它只考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。在拓撲學裡，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。拓撲英文名是Topology，直譯是地誌學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茨，他在17世紀提出「位置的幾何學」（geometria situs）和「位相分析」（analysis situs）的說法。萊昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。
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    歐拉在解決「七橋問題」過程中，就是拓撲學最原始的「形態」，只不過在當時這些問題被當做一些孤立的問題來處理，隨著拓撲學不斷發展，這些問題在拓撲學的形成中佔著重要的地位。類似像「七橋問題」這樣拓撲學「先聲」的事件，還有「四色問題」、「歐拉定理」等等。「四色問題」等拓撲學經典問題都向我們展現了拓撲學的廣泛應用以及它獨特的思考方式。
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    引言:拓撲物理學將會打開量子計算的大門。伴隨著網絡和材料學等科學技術的發展，無論是在宏觀還是在微觀領域的研究上，拓撲學的發展都是爆炸式的。尤其在材料物理學上，近十年來，拓撲學已經極大地應用到相關研究上了。拓撲，它主要描述了當一個對象被拉伸、扭曲或變形時保持不變的屬性。
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    11月2日，物理科學與工程學院先進微結構材料教育部重點實驗室陳鴻教授課題組在國際重要學術期刊《Nature Communications》在線發表了關於拓撲光子學研究的最新成果《Topological