蒙特卡洛方法-概率密度函數

2021-01-12 內核觀察

簡介

為了更加清楚的讓同學們深刻的理解PBR裡面那些公式背後的東西，同學們務必先來擼一遍光線追蹤，畢竟我們這裡舉例的這些蒙特卡洛方法都是光線追蹤第三卷裡（《Ray Tracing_ the Rest of Your Life》）的舉例，只不過可能對於有的同學來說，閱讀起來比較難，所以我們來更加詳盡的翻譯或者解釋一下，以便於讓更多的同學能搞明白這是在幹嘛。


問題描述

我們在使用光線追蹤的方法對場景進行渲染的時候，之所以會產生那麼多的噪聲，原因就在於我們沒有採樣足夠多的光線樣本。我們可以通過多重採樣的方式來增加對光線的採樣，但是我們這樣做了之後需要通過一些手段來讓最終的顏色變暗一點點，免得場景曝光太過了。在我們《光線追蹤》的課程裡，我們使用的是直接求平均的方式，其實這個地方我們如果採用一些概率學的方法會讓結果變得更好，這樣我們不得不來了解一下概率密度函數。


概率密度函數

從上面的柱狀圖，我們可以得到這樣的一些信息：

高度在60~65之間的樹有：3棵

高度在65~70之間的樹有：3棵

高度在70~75之間的樹有：8棵

高度在75~80之間的樹有：10棵

高度在80~85之間的樹有：5棵

高度在85~90之間的樹有：2棵


那麼從總體上來看，樹木的總數為：31棵，上面樹木的高度概率分布為：

高度在60~65之間的樹出現的概率：3/31

高度在65~70之間的樹出現的概率：3/31

高度在70~75之間的樹出現的概率：8/31

高度在75~80之間的樹出現的概率：10/31

高度在80~85之間的樹出現的概率：5/31

高度在85~90之間的樹出現的概率：2/31


現在開始從具體的例子，我們抽象出來數學模型，我們開始忽略掉樹木這個東西了。如果我們把上面柱狀圖所有柱子的面積看成是1，那麼各個區間柱子的面積就是：

60~65區間柱子的面積是：3/31

65~70區間柱子的面積是：3/31

70~75區間柱子的面積是：8/31

75~80區間柱子的面積是：10/31

80~85區間柱子的面積是：5/31

85~90區間柱子的面積是：2/31


又由於每根柱子的寬是5個單位，所以我們可以這麼說：在這5個單位上容納了柱子面積大小的概率P，那麼把這些概率分散到5個單位上，就可以得到每個區間的概率密度：

60~65區間的概率密度是：3/（31x5）

65~70區間的概率密度是：3/（31x5）

70~75區間的概率密度是：8/（31x5）

75~80區間的概率密度是：10/（31x5）

80~85區間的概率密度是：5/（31x5）

85~90區間的概率密度是：2/（31x5）


這裡概率密度函數的定義為：pdf（probability density function的縮寫）

Long-press QR code to transfer me a reward

我打字的時候，是不眨眼的！！！

As required by Apple's new policy, the Reward feature has been disabled on Weixin for iOS. You can still reward an Official Account by transferring money via QR code.

相關焦點

  • 蒙特卡洛模擬方法
    在本文中您可以學習到以下幾點知識蒙特卡洛定積分算法原理講解（公式篇）python實現算法（代碼篇）蒙特卡洛算法起源       蒙特卡羅方法於20世紀40年代美國在第二次世界大戰中研製原子彈的「曼哈頓計劃」計劃的成員S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼首先提出。
  • 通俗理解:概率分布函數、概率密度函數
    例如，企業個數，職工人數，設備臺數等，只能按計量單位數計數，這種變量的數值一般用計數方法取得。反之，在一定區間內可以任意取值的變量叫連續變量，其數值是連續不斷的，相鄰兩個數值可作無限分割，即可取無限個數值。例如，生產零件的規格尺寸，人體測量的身高，體重，胸圍等為連續變量，其數值只能用測量或計量的方法取得。
  • 蒙特卡洛方法到底有什麼用?
    蒙特卡洛方法（Monte Carlo method，也有翻譯成「蒙特卡羅方法」）是以概率和統計的理論、方法為基礎的一種數值計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯繫，用計算機實現統計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱隨機抽樣法或統計試驗法。上述就是蒙特卡洛方法的基本概念，比較抽象，下面結合實際工作中的理解，談一談對蒙特卡洛方法的一些認識。
  • R語言蒙特卡洛計算和快速傅立葉變換計算矩生成函數
    p=13734概率論中，矩生成函數（Moment-generating Function）和特徵函數（Characteristic Function）是定義 概率分布函數的另一種形式。特徵函數能夠唯一確定隨機變量的概率分布，如果隨機變量的概率密度函數$f(x)$存在，特徵函數相當於 $f(x)$的傅立葉變換。
  • 概率密度函數如何影響分布函數?
    今天我們來了解一下隨機變量的密度函數與分布函數之間的關係。
  • 蒙特卡洛方法在美式期權定價中的應用
    蒙特卡洛方法是以概率和統計理論方法為基礎的一種計算方法，利用隨機數(實際應用中通常為偽隨機數)來產生隨機的基於一定分布假設的數字序列，進而解決各種計算問題。通過對問題的結果分布進行假設和擬合，利用電子計算機實現統計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。為象徵性地表明這一方法的概率統計特徵，故借用賭城蒙特卡洛命名。
  • 【統計學入門課堂15】概率密度函數
    在數學中，連續型隨機變量的概率密度函數（在不至於混淆時可以簡稱為密度函數）是一個描述這個隨機變量的輸出值
  • 算法工程師的數學基礎|如何理解概率分布函數和概率密度函數
    離散型隨機變量的概率分布、概率函數和概率分布函數在理解概率分布函數和概率密度函數之前，先來理解下概率分布和概率函數。陳希孺老師在他所著的《概率論與數理統計》這本書中說：研究一個隨機變量，不只是要看它能取哪些值，更重要的是它取各種值的概率如何！
  • 什麼是蒙特卡洛模擬?
    蒙特卡洛方法正是以概率為基礎的方法，因為偶然性和隨機結果是建模技術的核心，就像輪盤賭，骰子和老虎機等遊戲一樣。蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也稱統計模擬方法，是二十世紀40年代中期由於科學技術的發展和電子計算機的發明，而提出的一種以概率統計理論為指導的數值計算方法。其使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。
  • Z=XY分布的概率密度函數的證明
    在考研中，儘管很少需要用到二維連續型隨機變量函數Z=XY的概率密度公式，但清楚其證明過程有二利：一、有利於了解樣本空間、概率密度、分布函數的本質；二、有利於加強對反常積分的運算技巧。設(X,Y)是二維連續型隨機變量，概率密度為f(x,y)，則Z=XY仍為連續型隨機變量，其概率密度為：在證明前，大家首先要牢記一點的是，求解隨機變量函數的概率密度時，大多數情況下，先求分布函數，再求概率密度。首先求分布函數。根據分布函數的定義有Fz(z)=P{Z≤z}=P{XY≤z}。當進行到這一步時，正確理解隨機變量及概率的含義是能夠繼續進行證明的關鍵。
  • 蒙特卡洛梯度估計方法(MCGE)簡述
    動機機器學習中最常見的優化算法是基於梯度的優化方法，當目標函數是一個類似如下結構的隨機函數 F(θ) 時：優化該類目標函數，最核心的計算問題是對隨機函數 F(θ) 的梯度進行估計，即：其中，對於函數期望類目標問題，最常見的是基於蒙特卡洛採樣的方法。背景知識要了解基於蒙特卡洛採樣的梯度估計方法，首先先了解蒙特卡洛採樣方法和隨機優化方法。MCS 是一種經典的求解積分方法，公式（1）中的問題通常可以用 MCS 近似求解如下：
  • 詳解蒙特卡洛方法:這些數學你搞懂了嗎?
    該系列文章現已介紹了賭博機問題、馬爾可夫決策過程和蒙特卡洛方法。本文是對其中蒙特卡洛方法文章的編譯。比如是否存在很多你知道狀態轉移概率的真實世界問題？你能一開始就從任意狀態起步嗎？你的 MDP 是否是有限的？那麼，我認為你會很樂意了解蒙特卡洛方法。這是一種可近似困難的概率分布的經典方法，可以解決你對動態編程解決方案的所有擔憂！
  • 蒙特卡洛模擬(Python)深入教程
    蒙特卡洛模擬使我們能夠看到決策的所有可能結果，並評估風險影響，從而在不確定的情況下更好地做出決策。在本文中，我們將通過五個不同的例子來理解蒙特卡羅模擬方法。5.調用main函數：圖8：調用Monte Carlo主函數，並繪製最終值。如圖8所示，我們顯示在5,000次迭代之後，獲得尾部的概率為0.502。 因此，這就是我們可以如何使用蒙特卡羅模擬來通過實驗找到概率的方法。
  • 【Excel技巧】F分布概率密度函數圖表的繪製
    利用Excel繪製t分布的概率密度函數的相同方式，可以繪製F分布的概率密度函數圖表。
  • 蒙特卡洛模擬方法及應用案例
    是把概率現象作為研究對象的數值模擬方法。是按抽樣調查法求取統計值來推定未知特性量的計算方法。蒙特卡羅法作為一種計算方法，是由美國數學家烏拉姆與美籍匈牙利數學家馮·諾伊曼在20世紀40年代中葉，為研製核武器的需要而首先提出來的。蒙特卡羅是摩納哥的著名賭城，該法為表明其隨機抽樣的本質而命名，故適用於對離散系統進行計算仿真試驗。
  • 蒙特卡洛算法在程序化研究中簡單應用
    微觀方面，筆者認為，可以講傳統的指標組合方法進行升華，引入在物理數學中成熟的數學模型，改進傳統的程序化交易模型，如運用數值計算中的蟻群算法和模擬退火算法等，本文介紹的也是數值計算中的蒙特卡洛算法。
  • 概率質量函數與累積分布函數()連續) - 圖解概率 05
    概率質量函數與累積分布函數-連續當累積分布函數為連續函數時候, 概率質量函數 PMF 不再適用, 因此就需要用積分(概率密度函數PDF)來計算概率
  • MCMC、蒙特卡洛近似和Metropolis算法簡介
    所以MCMC的目的就是運用蒙特卡洛模擬出一個馬可鏈（Markov chain)。如今，概率建模風靡一時，但是當我第一次了解它時，總有一件事情困擾我。 許多貝葉斯建模方法都需要計算積分，而我看到的任何工作示例似乎都使用高斯或伯努利分布，原因很簡單如果您嘗試使用比這更複雜的方法，它將成為分析的噩夢。
  • 一文了解AlphaGo中蒙特卡洛方法的由來與發展
    AlphaGo想必大家都相當熟悉了，除了卷積神經網絡技術的應用，蒙特卡洛搜索方法也是起到關鍵性作用的技術手段。接下來就簡單介紹蒙特卡洛方法的由來與發展過程。，主要是為核武器的研發和製作而工作，蒙特卡洛方法以概率統計為理論指導，由於一個簡單的隨機數發生器一輪盤賭，外加烏拉姆的叔叔十分嗜好賭博且經常在蒙特卡洛賭場輸錢，方法便以摩納哥的馳名世界的賭城-蒙特卡洛來命名，蒙特卡洛方法的名稱和系統開發由此開始。
  • 無需數學知識:快速了解馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法
    那麼，馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法（Markov chain Monte Carlo，簡稱MCMC）究竟是什麼？簡而言之：MCMC.方法用於通過在概率空間中進行隨機採樣以近似地得出某一感興趣參數的後驗分布。這裡再次強調，MCMC的全稱即為馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法。為了理解其工作原理，我將首先介紹蒙特卡洛模擬，而後再討論馬爾可夫鏈概念。所謂蒙特卡洛模擬（Monte Carlo simulations），是指一種通過重複生成隨機數來估計固定參數的方法。通過生成隨機數並對其進行一些計算，蒙特卡洛模擬能夠為某一無法直接計算（或者直接計算成本過於高昂）的參數提供近似值。