142857，又稱 「走馬燈數」，是世界上最著名的幾個數之一 （ 也許僅次於 、 ），也許很多人很小的時候，就會在趣味數學裡看到這個數。而這個神秘的數，最早發現於埃及的金字塔內。
這是因為，它 2~6 倍，都恰好是這六個數字的重新排列：285714,428571,571428,714285,857142……並且是 按次序 排列的哦，如下圖所示，是不是很像 「走馬燈」 呢？這樣的「走馬燈」 性質實在是讓人嘖嘖稱奇。於是我們開始好奇，142857 為什麼會具有這樣神奇的性質？是否還會有其他數具有這樣的性質呢？數學系的人也許會高冷地回答你：因為 10 是模 7 的一個原根。當然，也許還有些連初中數學都還給老師的人，會問：「模」 是什麼，哈？這個問題，其實正是讓數學小白們叩開 初等數論 大門的偉大機會啊！我相信，要完整地理解這個問題的來龍去脈，對於初中數學水平的人，大概也就需要半個小時而已~你知道 質數（素數）的概念：只能被 1 和自身整除的數；也知道 互質 的含義（最大公約數為1）；一、豎式計算的奧秘既然你已經知道了 142857*7=999999，那麼你一定很容易聯想到 1/7 會有 142857 的循環節。畢竟 1000000 除以 7 餘 1 嘛！豎式計算告訴我們，產生循環幾乎是顯然的：前 6 次相減，餘數分別 3、2、6、4、5、1，恰好遍歷了比 7 小的 1~6，這就意味著，下一個餘數無論是幾，都必然會和前面的重複，從而必須產生循環。定理 1.1：1/n 的小數展開，其循環節長度不超過 n-1。如果循環節恰好為 n-1 ，在豎式計算的每一步中，餘數一定遍歷了 1，2，…，n-1，那麼顯然，1/n, 2/n,…， (n-1)/n 的豎式計算，一定能和 1/n 的豎式計算中的某一步銜接起來，循環節會形成 「走馬燈」 的效果。反之，對於任意一個「走馬燈數」，我們可以把它當做循環小數的循環節，而循環小數必然可以表示成分數 k/n，若循環節小於 n-1，那麼餘數必然不能遍歷 1，2，…，n-1，那麼 「走馬燈」 的效果則不會出現。於是我們得到了另一個定理：定理 1.2：對每一個 「走馬燈數」 ，都存在自然數 n，走馬燈數為 1/n 的小數展開後的循環節，且這個循環節恰好有 n-1 位。a接下來，我們需要尋找滿足條件的 n，初等數論 的大門將緩緩打開。二、費馬不只發現了「費馬大定理」在這一部分，我們需要接觸 3 個初等數論的基礎概念：同餘：若 a 除以 n 和 b 除以 n 的餘數相同，則稱 a 和 b 對模 n 同餘，記作 (mod n)；歐拉函數：小於 n 的正整數中與 n 互質的數的數目，記為 ；剩餘系：對全體自然數，按照除以 n 的餘數可以分成 n 類，每一類構成的集合叫做 剩餘類；在每一個剩餘類中取一個數，構成的集合叫做 完全剩餘系；在每一個和 n 互質的剩餘類中取一個數，構成的集合叫 簡化剩餘系。易見，一個模 n 的簡化剩餘系中有 個元素。比如 6，在 1、2、3、4、5 中，只有 1 和 5 是和 6 互質的，所以 ;對於任意質數 p，顯然 1~ p-1 都和其互質，因此 。定理 2.1（費馬-歐拉定理）：若 a 和 m 互質，則 (mod m)這是第一個需要稍微思考一下的定理。但證明也並不複雜：在 1~ m-1 中取一個模 m 的簡化剩餘系，從小到大排列為 ，任意兩個數之間的差都小於 m-1，考慮每個數的 a 倍，由於 a 和 m 互質，顯然有： (mod m)於是 也構成了模 m 的簡化剩餘系。則有： (mod m)那麼： 和 m 互質，所以 ，證畢！特別地，當 m 為質數的時候，結合歐拉函數的定義，我們得到了費馬小定理：定理 2.2（費馬小定理）：若 p 為質數，且 a 和 p 互質，則 (mod p)費馬大定理是我們耳熟能詳的，但其實費馬小定理也是初等數論中比較基本的定理哦！三、原根，以及 A001913在費馬-歐拉定理中，取 a=10，當 m 與 10 互質的時候，才有： （mod m），從而形成 純循環小數。聯想到豎式計算：在 1/m 的計算過程中， 一定是循環節（但不一定是最短的），顯然，若且唯若 m 為質數的時候，才可能有 。滿足 「走馬燈」 性質 m 至少是質數，且與 10 互質。但 m 是質數並不是充分條件，如 m=3， ，而 (mod 3)。於是原根的定義便呼之欲出了： 設 m 是正整數，a 是整數，若 a 模 m 的階（使得 （mod m）的最小正整數 k）等於 ，則稱 a 為模 m 的一個原根。定理3：對每一個 「走馬燈數」，必然存在自然數p，走馬燈數為 1/p 小數展開後的循環節，且 p的充要條件是：① p 是質數；② p 與 10 互質；③ 10 是模 p 的一個原根。有一個收錄了各種數列的網站叫 OEIS，它恰好收錄了走馬燈數相關的 p：A001913（https://link.zhihu.com/?target=http%3A//oeis.org/A001913）與此同時，還給出了 「走馬燈數」 數列：A180340（https://link.zhihu.com/?target=http%3A//oeis.org/A180340）142857, 588235294117647, 52631578947368421, 434782608695652173913, 344827586206896551724137931,212765957446808510638297872340425531914893617, 169491525423728813559322033898305084745762711864406779661
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