你知道為什麼142857是世界上最神奇的走馬燈數字嗎?

2021-02-08 跟我一起來玩轉數學

有人這樣評價國際奧林匹克數學競賽題目：每個漢字都認識，但連起來一句話就看不懂了！142857是由6個數字組成，每個數字都很直觀，但是連起來的6位數就不簡單了！那麼看似平凡的數142857，為什麼說它最神奇呢？

事實勝於雄辯，我們看以下一組數據：

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

我們發現142857分別乘以1、2、3、4、5、6得到的結果還是有1、4、2、8、5、7這幾個數字組成，而且按142857的順序循環只不過是開頭數字不同罷了；其中142857與數字a乘積的結果的首位數字是將1、4、2、8、5、7按大小順序排位1、2、4、5、7、8後第a個數，比如：4在1、2、4、5、7、8中按大小排在第3位，142857 × 3 = 428571。

我們再看一組數據

1÷7=0.142857……循環節為142857

2÷7=0.285714……循環節為285714

3÷7=0.428571……循環節為428571

4÷7=0.571428……循環節為571428

5÷7=0.714285……循環節為714285

6÷7=0.857142……循環節為857142

所得的商有如下特點：它們的小數部分都是由1、4、2、8、5、7這六個數字組成的，而且按142857的順序循環只不過是開頭數字不同罷了；其中數字a與142857商的結果的首位數字是將1、4、2、8、5、7按大小順序排位1、2、4、5、7、8後第a個數，比如：4在1、2、4、5、7、8中按大小排在第3位，3÷7=0.428571……循環節為428571。

142857這個數字周而復始的輪轉，這就像中國傳統玩具之一「走馬燈」，燈內點上蠟燭，燭產生的熱力造成氣流，令輪軸轉動。輪軸上有剪紙，燭光將剪紙的影投射在屏上，圖像便不斷走動。因多在燈各個面上繪製古代武將騎馬的圖畫，而燈轉動時看起來好像幾個人你追我趕一樣。所以稱142857為神奇的走馬燈數。

事實上142857的神奇來自與7的碰撞，這樣的規律在數學中也不是獨有的？數學家利用費馬小定理和歐拉定理進行了大量的研究，確認了有很多性質與7相似的數，比如最典型的一個例子就是17，當我們用小於17的數去除以17時，就會發現他們也存在著神奇的規律1÷17=0.0588235294117647……循環節0588235294117647，其中3在0588235294117647中按大小排位是6，所以6÷17=0.3529411764705882。

世界很巧妙，等著我們用心去探索，數學是客觀反映世界的基礎學科，用數學的眼觀看世界，你將會發現生活無限美好！

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