作者：陳關榮，本文授權自集智俱樂部(ID:swarma_org)，轉載請聯繫授權。
詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell，18311879），英國物理學家、數學家。經典電動力學的創始人，統計物理學的奠基人之一。
導語
麥克斯韋為人熟知的主要原因是他對電磁學的貢獻，實際上，作為物理學家，麥克斯韋對系統控制的研究也持續多年，他對於控制器的早期探索深刻影響了維納等人對控制論研究。
本文經授權轉載自《系統與控制縱橫》2019年第6卷第1期
掌舵人：麥克斯韋
今年（2019年）11月5日是麥克斯韋逝世140周年紀念日。
詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell），1831年6月13日出生於蘇格蘭愛丁堡。他是一位偉大的數學物理學家，是經典電動力學的創始人和統計物理學奠基人之一 。他最具代表性的貢獻是建立了「場論」，把電、磁、光三者統一為電磁場論，並建立了今天稱為麥克斯韋微分方程組的數學模型，還預言了電磁波的存在。
圖1 麥克斯韋，偉大的數學物理學家，是經典電動力學的創始人和統計物理學奠基人之一 。
據說，愛因斯坦的書房裡掛著三個人的肖像：牛頓、法拉第和麥克斯韋。事實上，愛因斯坦在1931年紀念麥克斯韋100周年誕辰的文集中寫道：「自從牛頓奠定理論物理學的基礎以來，物理學公理基礎最偉大的變革是由法拉第和麥克斯韋在電磁現象方面的工作所引起的。」他評說道：「這偉大的變革是同法拉第、麥克斯韋和赫茲的名字永遠聯繫在一起的。而這變革中的極大部分來自麥克斯韋。」這足以說明麥克斯韋的超凡。在麥克斯韋的諸多科學貢獻中，我們特別感興趣的是他在控制理論、反饋設計和系統穩定性方面的創造性思維和新穎方法。
1948年，當維納（Norbert Wiener，1894-1964）考慮為一個新領域定名時，他想起了麥克斯韋：「我們已經決定了為整個控制和通信領域起一個名字，不管涉及到機器還是動物，就叫做Cybernetics，它來自希臘文kubernetes，即掌舵人。在選擇這個詞的時候，我們應當追溯到克拉克·麥克斯韋1868年發表的第一篇論述反饋機制的重要論文，那是關於調速器（Governor）的，而這一名詞就是從kubernetes的拉丁文演繹出來的。」
維納提到的麥克斯韋的那篇論文，題目是「論調速器」（On Governors），發表在
Proceedings of the Royal Society，Vol. 16, pp. 270-283, 1868。文中指出：「一部帶調速器的機器通常在有擾動的情況下仍然能以均勻的方式運動，其中擾動是多種組成部分的運動的綜合。
這些組成部分大概可以分為四類：
（1）擾動連續性地增長；
（2）擾動連續性地衰減；
（3）擾動以幅度連續增長的方式振蕩；
（4）擾動以幅度連續減少的方式振蕩。
上面第一和第三種情況與運動的穩定性是不相容的；第二和第四種情況則與良好的調速器兼容。這一條件在數學上等價於某個方程所有實根和復根的實部均為負數。」在這篇文章中，麥克斯韋採用了非線性系統的線性化處理，引入了運動穩定性的概念，並給出了低階系統穩定性的判別條件。1876年，俄羅斯學者Ivan Alekseyevich Vyshnegradsky（1832-1895）獨立地給出了類似的穩定性條件。麥克斯韋在上述論文中作了一點說明：「我尚未能完全確定高於三階方程的條件，但希望這個研究題目會引起數學家們的注意。」這個高階多項式穩定性問題到1877年有了判別條件：勞斯（Edward John Routh, 1831-1907）參加名為「動力學穩定性」的科學競賽，以題為「A Treatise on the Stability of a Given State of Motion」的論文贏得了由英國劍橋大學1848年設立、由該校數學學院頒發的亞當斯獎（Adams Prize），文中他給出了我們今天熟知的勞斯判據。此後，系統穩定性研究獲得迅速發展。
熱衷研究系統控制的
物理學家
作為物理學家的麥克斯韋為什麼熱衷於研究系統控制呢？儘管系統控制也屬於物理範疇，這事還得從調速器所伺服的蒸汽機談起。
世界上最早的蒸汽機雛形可以追溯到古希臘數學物理學家希羅（Hero of Alexandria）在公元一世紀發明的汽轉球（Aeolipile）。當然，或許更早一點，維特魯威（Vitruvius）在《建築十書》（De Architectura）中已提到一種帶小開口的黃銅容器，注入水後再用火燒便會產生蒸汽，他稱之為「olipyl」。
無論如何，希羅的《氣體力學》（Pneumatics）詳細地描述了汽轉球的結構和工作原理，它由一個空心球和一個裝有水的密封鍋子以兩條空心管連接在一起，當在鍋底加熱使水沸騰時，鍋中的蒸汽就通過管子進入球中，最後蒸汽會由球體的兩旁噴出從而推動球體旋轉。（見圖2）
圖2 希羅的汽轉球
現代意義下的蒸汽機要等到17世紀才誕生。1679年，法國物理學家丹尼斯·帕潘（Denis Papin, 1647-1712）打造了第一臺蒸汽機的工作模型(Steam Digester)。之後，英國三位工程師，託馬斯·塞維利（Thomas Savery, 1650-1715）於1698年、託馬斯·紐科門（Thomas Newcomen，1663-1729）於1712年 和詹姆斯·瓦特 （James von Breda Watt，1736-1819）於1769年分別設計和改良出早期的工業蒸汽機。
其中瓦特的偉大貢獻是改進了惠更斯（Christiaan Huygens，1629-1695）的設計而製造出了更實用的離心調速器（Flyball governor，1788，見圖3），使蒸汽機的效率大大提高，從而得到迅速推廣。1807年，美國工程師羅伯特·富爾頓（Robert Fulton，1765-1815）成功地給遠航輪船裝上了驅動蒸汽機，不過那是後話。瓦特的離心調速器一直運作得很好，那時英國約有75000個離心調速器在工業界使用。後來蒸汽機速度提高了，調速器頻繁地出現不穩定狀況，以致不能工作甚至導致機器損毀，讓所有的工程師絞盡腦汁卻一籌莫展。
機械應用研究在這種困難時刻通常都會求助於數學家和物理學家。麥克斯韋的參與適逢其時。也許是經過多年的研究（我們不得而知），他發表了上述著名論文「論調速器」（On Governors），為瓦特離心調速器的改進和使用提供了嚴格堅實的數學基礎。
表達比例和積分控制器基本思想的
數學物理學家
麥克斯韋那個時候還表達了今天我們熟知的比例和積分控制器的基本思想。
圖3 瓦特設計的 Flyball離心調速器
他在這篇文章中描述：「大多數調速器依賴於與轉軸相連的一塊機器部件的離心力。當速度增加時，該離心力便增加，它或者增加在該部件表面的壓力，或者將該部件移離，從而起到剎掣或閥門的作用。」他指出：「但如果離心力作用在該部件,而不是直接作用在機器上，那麼就可以有一個設計，只要運動速度高於某個正常值，就會不斷地增加阻力，而在速度低於該值時則反轉其作用，使得無論在驅動或阻力方面發生任何變化（在機器的工作範圍內），這個調速器都會將速度引導到同一個標準值。」文中他把只有比例控制的調速器稱為Moderator，而把具有比例及積分控制的調速器稱為Genuine governor。
麥克斯韋的文章分析了三種調速器。
第一種，離心力部件與軸的距離保持不變，但它在摩擦表面上的壓力隨著速度的變化而變化。第二種，離心力部件可以自由地離軸移動，但它受到一種力的限制使得該力的強度隨離心部件的位置變化而變化，因此如果旋轉速度具有正常值，則離心力部件在每個位置都處於平衡狀態。第三種，液體被泵出並被拋出旋轉杯的兩側。杯子通過螺釘和彈簧以其軸線連接。如果軸的旋轉在杯子之前，則杯子下降同時泵進更多液體。如果這種調整可以做得完美，那麼在適當的驅動力範圍內，杯子就能保持正常旋轉速度不變。麥克斯韋接著指出，「在某些條件下，機器裡突發的擾動並不會經過差速系統去影響調速器，或者反過來。當這些條件都滿足時，其相應的運動方程不但簡單，而且運動本身不會導致機器與調速器相互作用而產生的擾動。」麥克斯韋1868年的這篇論文第一次給出了明確的穩定性數學條件，並指出如何去設計調速器以滿足這些條件。另外，儘管麥克斯韋的文章沒有用「反饋」（Feedback）二字，容易看出，他的文章自始至終貫穿著反饋的思想和方法。事實上，他研究的主題調速器就是一個典型的反饋控制器。
致力於研究天體的
數學物理學家
作為物理學家，麥克斯韋也致力於研究天體，系統特別是土星環（見圖4）的穩定性。
圖4 土星環
伽利略是第一個通過望遠鏡看到土星環的天文學家，而拉普拉斯則是第一個研究土星環穩定性的數學家。拉普拉斯的結論是，如果這些環是固態的話，它們一定是由大量的非常小的環組成，並且每個小環以特定的速度圍繞土星旋轉。
麥克斯韋假定土星環並不是固態的，由此研究了環上非剛性小塊橫截面上動力擾動的效果。他發現，為了保證環面的穩定性，這環必須有足夠的不規則性。「我們可以更有把握地得出如下結論：如果這些環是固態和均勻的話，它們的運動就會是不穩定的，因而它們就會被破壞；但它們並沒有被破壞，而且它們的運動很穩定，故此它們要麼是不均勻的、要麼是非固態的。我並沒有發現拉普拉斯或者近代數學家們對此有過任何研究。」他指出：「在本文中我已經證明了這種現象的確存在，但都是通過環的演變轉化為穩定性的動力學條件。」
接下來，他描述了這種運動狀態的變換，然後考慮了如果穩定性條件不滿足，土星環將如何破裂成無數小顆粒，變成「流星雨、土塵或者灰燼」，並且給出了為維持整體穩定性土星環應有的平均密度。
「力學理論分析的最後結果是」，他總結道，「唯一能夠存在的環是由無數互不連接的小顆粒組成，它們圍繞著土星按各自的不同距離以不同的速度運行和演化。」
麥克斯韋以他的論文「On the Stability of the Motion of Saturn's Rings: An Essay」（後來以書出版，MacMillan and Co., 1859）贏得了1856年的亞當斯獎，奠定了他作為最偉大的數學物理學家的崇高學術地位。
重視實證研究的
數學物理學家
作為理論物理學家和數學家的麥克斯韋也十分重視實證研究，常常親自動手做各種實驗。1874年，他在劍橋大學負責籌建了後來被譽為「諾貝爾物理學獎獲得者搖籃」的卡文迪什（Cavendish）實驗室，並擔任實驗室主任，直到1879年跟他母親一樣病逝於胃癌。天妒英才，只讓他享年48歲。圖5為英國愛丁堡的麥克斯韋雕像。
圖5 愛丁堡喬治街的麥克斯韋雕像
本文作者
作者：陳關榮編輯：陳安林
來源：集智俱樂部
編輯：重光