語宙
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「這是人類邁入太空的門檻」
導語
在理想狀態下，有了足夠的初速度，之後不再需要推動力，也能飛出地球、飛出太陽系。
達到第一宇宙速度(水平方向)，不會再掉落回地球上；
達到第二宇宙速度，能脫離地球；
達到第三宇宙速度，能脫離太陽；
還有第四宇宙速度……
你真的了解宇宙速度嗎，能算出來那種？
快來看下面的超詳細講解吧
Episode 4
第二宇宙速度
我們高中的時候就學過機械能守恆定律，機械能等於動能加勢能，在沒有外力的作用下，機械能守恆，動能變大勢能變小，動能變小勢能變大。
在天體力學和航天領域這一定律同樣成立，在這裡我們的研究對象很簡單，只有兩個物體，一個是比較大的中心引力體，比如地球，另一個是質量和中心引力體相比可以忽略不計的小天體，比如飛行器。我們要研究的就是小天體相對中心引力體的運動。飛行器的機械能E的公式是
這個機械能公式是單位質量的機械能公式，即飛行器每千克物質的機械能，所以公式裡是沒有飛行器質量m這一參數的；右邊的第一項是動能，v是飛行器速度；第二項是勢能，
是地球引力常數，r是飛行器地心距，而且這一項前面有個負號，在數值上始終是非正的。
動能這一項大家都懂，和高中學的沒什麼兩樣，勢能這一項可就有些講究了，高中時是把地面的勢能定義成0，水平面以上為正，以下為負，公式是U=mgh，單位質量的勢能是U0=gh，這是典型的小尺度下的「平面-平行定常引力場」假設下的公式，對大尺度的中心引力場並不適用。中心引力體下的勢能公式是上面的樣子。
還有一個問題就是勢能為什麼總是負的，這其實和我們的定義方法有關係，在天體力學裡，勢能的定義是將單位質量的物體從距離中心引力體r的位置逆中心引力方向向上一直抬升到無窮遠的位置時所做的功，按照萬有引力平方反比定律，把單位質量物體所受引力乘以高度變化量，從r一直積分到無窮遠，就能得到勢能這一項，上過高等數學的小夥伴都能很輕鬆的自己推導出來，由於做的功與萬有引力方向相反，所以勢能在數值上總是負的，從物理上也好理解，可以認為「無窮遠」就是一個可以擺脫任何引力的自由大平原，每個中心引力體就是平原上的一個大坑，你在平原上的勢能就為0，要是掉到坑裡勢能就會變負，這個中心引力體越重（越大），你距離引力中心點越近（r越小），則越勢能負的越多，你想爬出來所需要的能量越大。
很不幸，在一切天體上生存的生物（對，就是說我們人類）現在都在坑裡，而且天體之間距離遙遠，實現星際探測基本上就是從一個坑裡爬出來到大平原再跳到另一個坑裡的過程。月球探測除外，地球和月球兩個「坑」比較近，不用完全爬到大平原從半道上就能跳進另外一個坑，實現地月旅行相對省能量（省力氣）一些。我們在地球這個「坑」裡，單位質量物質的勢能大約是-6.25*10^7牛頓米，這個數負的好大、好悲催。
怎麼才能從勢能的「坑」裡爬出來呢？Bingo！用動能來換，你可以把動能理解為飛行器的「活力」或者「體力」，飛行器擺脫引力場的過程就是遠離地球的過程，需要消耗體力，速度就會降低，如果初始速度不夠大，飛行器可能爬「坑」爬到一半就沒體力了，或者說速度變0了，那它就爬不出去了，那怎麼能爬出去呢，那就是在「坑」底的時候，動能在數值上就要比勢能大，至少也要一樣大才行，也是是單位質量的動能至少要-6.25*10^7牛頓米，拿這個數乘以2再開根號，就可以得到11.2千米/秒。BlingBling，這就是第二宇宙速度！
和第一宇宙速度的計算公式比較不知你發現沒有，第二宇宙速度剛好是第一宇宙速度的根號2倍。事實上，在任意軌道高度上，施加水平速度使飛行器剛好能飛出地球引力場（沿拋物線軌道）所需要的速度都剛好是在這一軌道上做圓周運動所需水平速度的根號2倍！
補充個小知識，剛才說月球離地球比較近，到月球旅行不用爬到平原上，只要爬到半路就能翻進月球的坑了，這個對應的從地球出發的初始速度是10.85千米/秒，比第二宇宙速度大約少350米/秒。
出個題考考你唄，如果從地球以15千米/秒的速度出發飛向太空深處，不考慮其他天體作用，飛行器最終的飛行速度相對地球將會是多少呢？好算呀，出發時的動能是1.125*10^8牛頓米，扣掉勢能後機械能是5*10^7牛頓米，機械能守恆飛到無窮遠這個值保持不變，無窮遠的勢能為0，所以無窮遠處飛行器的動能就是5*10^7牛頓米，折算回速度就是10千米/秒。這個速度也叫剩餘速度，就是飛行器飛到無窮遠把爬「坑」的力氣用完後還能剩下的動能所對應的速度。
小夥伴們對剩餘速度是不是還感到不滿意，覺得太慢了，星際航行怎麼不也得整快點，以後甚至搞個曲率飛行超光速啥的？可真相往往更殘酷，目前單級火箭最大推進速度還不到5千米/秒，多級火箭的運載能力也就剛剛能夠達到比第二宇宙速度11.2千米/秒稍快一點點，遠離地球，在太陽系裡逛逛還行，要想飛出太陽系可就不行了，我們前面所理解的大平原，其實是另一個更大的「坑」的底部，這個大坑就是太陽系，要想爬出這個坑到銀河系的大平原，這點剩餘速度可就不夠了。你看，人生道路曲折不能怨社會，連我們所處的宇宙都是大坑套小坑呢，下次你一定要把這些挫折看成自然規律，哭多了就習慣了。
最後再附贈大家一個小秘密，飛行器機械能的表達式除了可以寫成動能加勢能外，還能寫成下面的樣子
其中a是飛行軌道的長半軸。如果繞地球飛行的飛行器軌道是橢圓形的，那麼軌道長半軸大於0，機械能為負，無法飛出地球引力場；若軌道是雙曲線，那長半軸小於0，機械能為正，能夠飛出地球引力場；若軌道為拋物線，則長半軸相當於無窮大，機械能為0，剛好能飛出引力場而不留剩餘速度。問題是不是一下就變得簡單啦？其實橢圓、拋物線、雙曲線都屬於圓錐曲線族，它們都是飛行器在平方反比萬有引力作用下會飛出來的實際飛行軌跡，在數學上是可推導的，所以我們高中時學的這些曲線，可不是純粹的數學遊戲，它們可是大有來歷的，背後可是站著伽利略、牛頓、高斯、雅可比、拉格朗日等一堆一堆的大咖呢！有興趣的同學可以看看網上科普小文《N體問題的三百年》。
Episode 5
無窮遠是多遠
我們前面的分析是只針對兩個天體而言的，一個是中心引力體，另一個是飛行器，飛行器在無窮遠處勢能為0，但這個所謂的無窮遠在工程實踐上就有問題了，在工程上不管飛行器飛得多遠，總還是有個具體的實際距離的，總不能讓飛行器飛到地老天荒，而且在宇宙中也不是只有這兩個天體，當飛行器飛得足夠遠，以至於第三個天體到這兩個天體的距離不再遠遠大於這兩個天體之間的距離時，再把飛行器的運動單純看作是只受中心引力體的作用，而完全忽略不計第三個天體對飛行器的影響，就顯得有點掩耳盜鈴啦，這裡就存在一個引力作用範圍的問題。
不妨把銀河系看成一個大社會，裡面的每個恆星都有自己的勢力範圍，太陽作為太陽系的黑社會老大，它的勢力範圍就是整個太陽系。太陽還有一堆小跟班，主要就是太陽系裡的幾顆行星，水星、金星、地球、火星、土星之流啦，他們每個都有自己的小勢力範圍，總的來說是行星重量越大、離太陽越遠則其掌管的勢力範圍越大，當飛行器在這些行星的引力勢力範圍內飛行時，可以近似認為飛行器只受該顆行星的引力影響，其他行星和太陽對這個飛行器的萬有引力影響可以忽略不計。如果飛行器飛出行星引力勢力範圍，則其運動主要由太陽的引力決定，可以忽略行星引力的影響。但總的來說，和整個太陽系的尺度相比，行星的勢力範圍還是非常有限的，在太陽系的絕大部分空間裡還是太陽說了算的。
現在的問題是，太陽這個黑社會老大到底怎麼給手下的行星小兄弟們分地盤呢？話說太陽手下有個軍師，此人名叫拉普拉斯，幫太陽分地盤的任務就落到了他的頭上了，這傢伙可是科學史上法國的一隻大牛，是天體力學的主要奠基人、分析概率論的創始人、還是熱化學的開拓者，順路還研究了一下控制，搞了幾個小公式，就是大家在《自動控制原理》、《最優控制理論》和《信號與系統》裡學的拉普拉斯定理、拉普拉斯方程和拉普拉斯變換。他仔細考慮了一下，於是就幫太陽出了個主意，並放出了「天體攝動」這一概念大招。
首先考慮地球和離地球很近的一個飛行器，它們構成一個地-衛系統，地球是中心引力體，可以簡稱為中心體，飛行器為第二體，然後再引入第三個天體，比如太陽，不妨叫它幹擾體。由於幹擾體距離地-衛系統太遠或者本身質量太小（比如把月球作為幹擾體），幹擾體對中心體和飛行器的萬有引力作用要遠遠小於中心體和飛行器之間的萬有引力作用。這時研究飛行器的運動時，首先要考慮中心體（地球）對第二體（飛行器）的萬有引力，然後再在此基礎上考慮擾動體（太陽）的存在對飛行器的額外影響，這個影響就是擾動體對飛行器的萬有引力加速度矢量減去擾動體對中心體的萬有引力加速度矢量，這個矢量差就是擾動體對飛行器的攝動加速度！所以天體「攝動」是一個矢量差的概念，當考察遙遠太陽對近地飛行器的攝動影響時，地心-太陽-飛行器的夾角越大時則攝動加速度越大，從數值上講，攝動加速度ad1是遠遠小於地球對飛行器的中心引力加速度ac1的。
拉普拉斯就是把攝動加速度與中心引力加速度的比值作為劃定行星引力勢力範圍依據的，這個比值越大說明攝動作用產生的幹擾力越大，行星對飛行器的影響力越小。還是考察這個近地飛行器，這個比值肯定是非常小的，因為攝動加速度遠遠小於中心引力加速度，下面我們把這個飛行器往距離地球更遠的位置移動一些，不妨沿地日連線向太陽方向移動，顯然中心引力加速度會受引力平方反比定律影響而變小，攝動加速度會變大，攝動加速度與中心引力加速度的比值會變大。
事實上，從地球出發，不管從哪個方向遠離地球，這個比值都會變大。那到底這個比值變到多大才算是地球引力勢力範圍的邊界呢？地球是混黑社會的，總是比較貪婪，老想自己的勢力範圍越大越好，所以總想把這個比值定的比較大，於是拉普拉斯就說，地球你個小樣兒也別不服，太陽是咱老大也不欺負你，既然是劃界誰也別佔誰便宜，太陽老大和你採用一樣的辦法來比比誰的影響力大，把這個飛行器放到太陽邊上，讓老大太陽當中心體，你地球來當擾動體，也把太陽系中各處的攝動加速度ad3與中心引力加速度ac3的比值標出來，確定太陽系中的某塊地盤到底是太陽管還是地球管，就看你們誰在這的比值小，誰的比值小說明誰在這塊地盤的絕對控制力越強，這塊地盤就是誰的！雙方沒有異議了吧？好，開搞！最後一算，地球的引力勢力影響範圍是以地球為中心一個圓球形區域，這以外的地盤全是太陽的！
這個近似為圓球形的區域就叫拉普拉斯影響球，地球拉普拉斯影響球的半徑大約為93萬公裡，在影響球邊界處，太陽作為攝動力對地球中心引力的擾動比例與地球作為攝動力對太陽中心引力的擾動比例是相等的，這一比值大約為8%。就是說在地球影響球內部即使完全不考慮太陽引力，飛行器受力分析時的誤差不會大於8%。地球的勢力範圍劃定，其他的行星參照同樣方法都能劃出自己的拉普拉斯影響球。其實在太陽的質量遠遠大於行星質量的情況下，這些影響球都是以行星為中心的近似球形形狀，金星的影響球半徑大約為62萬公裡，火星是58萬公裡。木星離太陽更遠，質量更大，其影響球半徑達到4800萬公裡，這個數是不是好大，但木星距離太陽有7.8億公裡呢！
月球的影響球有點麻煩，主要是離地球太近，作為地球的跟班小弟，月球也想在自己周圍劃個小圈子，在月球-飛行器-地球這個三體組合中，月球相對於地球的影響球大約是以月球為中心半徑為66000公裡的球形區域，但在影響球邊界上，攝動力、中心引力的比值高達41%，要忽略攝動來分析影響球邊界周圍的飛行器運動，簡直是分分鐘作死的節奏，對這個問題還有其他分析方法，比如引入內外影響球的概念，這不在本文的討論範圍內，還是以後找機會再聊吧。
回到本集最開始的問題吧，我們研究的第一、第二宇宙速度都是只有地球和飛行器的二體問題，只有在地球影響球的範圍內這些研究才是有意義的（雖然在影響球邊界附近受力偏差也達到8%，好在影響球邊界引力加速度的絕對值不大），到了影響球之外，就是太陽的地盤了，您老分析的再好可是二體問題的前提條件不成立啦！因此，從拉普拉斯影響球的觀點看，對於地球中心引力場而言，無窮遠還是有邊界的，如果非要加上一個距離限制的話，那就是一萬年，不不不，那就是九！十！三！萬！千！米！
有關第三宇宙速度及第四宇宙速度，請看《你真的了解宇宙速度嗎？（下篇）》。
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第 201 期
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